Ein Ring mit Radius a ist gleichmäßig mit einer Ladung Q geladen. Berechnen Sie den Vektor des elektrischen Feldes an einem Punkt P auf der Symmetrieachse senkrecht zur Ebene des Rings in einem Abstand z von seinem Zentrum.

Gegebene Daten:

• Radius des Rings:    a;
• Ladung des Rings:    Q;
• Abstand zum Punkt, an dem das elektrische Feld berechnet werden soll:    z.

Schema des Problems:

Der Ortsvektor r verläuft von einem Ladungselement dq des Rings bis zum Punkt P, an dem wir das elektrische Feld berechnen wollen, der Vektor r_q beschreibt die Lage des Ladungselements relativ zum Ursprung des Bezugssystems, und der Vektor r_p beschreibt die Lage des Punktes P (Abbildung 1-A).

Abb. 1

Aufgrund der Geometrie des Problems wählen wir Zylinderkoordinaten (Abbildung 1-B). Der Vektor r_q liegt in der xy-Ebene und wird geschrieben als   \( \mathbf r_q=x\;\mathbf i+y\;\mathbf j \).   Der Vektor r_p besitzt nur eine Komponente in k-Richtung,   \( \mathbf r_p=z\;\mathbf k \),   der Ortsvektor ist somit

Aus Gleichung (I) ergibt sich für den Betrag des Ortsvektors r

wobei x, y und z in Zylinderkoordinaten gegeben sind durch

Lösung:

Der Vektor des elektrischen Feldes ist gegeben durch

Unter Verwendung der Gleichung für die lineare Ladungsdichte, λ, erhalten wir das Ladungselement dq.

wobei ds ein Bogenelement mit Winkel dθ des Rings ist (Abbildung 2).

\[ \begin{gather} ds=a\;d\theta \tag{VI} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichung (VI) in die Gleichung (V).

\[ \begin{gather} dq=\lambda a\;d\theta \tag{VII} \end{gather} \]

Abb. 2

Durch Einsetzen der Gleichungen (I), (II) und (VII) in die Gleichung (IV).

durch Einsetzen der Gleichungen (III) in die Gleichung (VIII).

Die Ladungsdichte λ und der Radius a sind konstant, sie können aus dem Integral herausgezogen werden, und das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale.

Die Integrationsgrenzen sind 0 und 2π (eine vollständige Umdrehung des Rings).

Integral von    \( \displaystyle \int_0^{2\pi}\cos\theta\;d\theta \)

1. Methode

\[ \begin{align} \int_0^{2\pi}\cos\theta\;d\theta &=\left.\operatorname{sen}\theta\;\right|_{\;0}^{\;2\pi}=\operatorname{sen}2\pi-\operatorname{sen}0=\\ &=0-0=0 \end{align} \]

2.Methode

Der Kosinusgraph zwischen 0 und 2π besitzt eine "positive" Fläche oberhalb der x-Achse zwischen 0 und \( \frac{\pi}{2} \), und zwischen \( \frac{3\pi}{2} \) und 2π. Und eine "negative" Fläche unterhalb der x-Achse zwischen \( \frac{\pi}{2} \) und \( \frac{3\pi}{2} \), diese beiden Flächen heben sich bei der Berechnung des Integrals auf, und der Wert des Integrals ist null (Abbildung 3).

Abb. 3

Integral on    \( \displaystyle \int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta \)

1. Methode

\[ \begin{align} \int_0^{2\pi}\operatorname{sen}\theta\;d\theta &=\left.-\cos\theta\;\right|_0^{\;2\pi}=-(\cos 2\pi-\cos 0)=\\ &=-(1-1)=0 \end{align} \]

2. Methode

Der Sinusgraph zwischen 0 und 2π besitzt eine "positive" Fläche oberhalb der x-Achse zwischen 0 und π. Und eine "negative" Fläche unterhalb der x-Achse zwischen π und 2π, diese beiden Flächen heben sich bei der Berechnung des Integrals auf, und der Wert des Integrals ist null (Abbildung 4).

Abb. 4

Anmerkung: Die beiden Integrale in i- und j-Richtung sind null und stellen die mathematische Berechnung für die übliche Aussage dar, dass sich die Komponenten des elektrischen Feldes parallel zur xy-Ebene (dE_P) aufheben. Nur die Komponenten senkrecht zur Ebene (dE_N) tragen zum gesamten elektrischen Feld bei (Abbildung 5).

Abb. 5

Die Gesamtladung des Rings ist Q und seine Länge ist 2πa, die lineare Ladungsdichte kann geschrieben werden

\[ \begin{gather} \lambda=\frac{Q}{2\pi a} \\[5pt] Q=2\pi a\lambda \tag{X} \end{gather} \]

durch Einsetzen der Gleichung (X) in die Gleichung (IX).

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Qz}{\left(a^2+z^2\right)^{3/2}}\;\mathbf k} \end{gather} \]

Abb. 6