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FISICAEXE
Gelöste Aufgabe zur eindimensionalen Bewegung
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Zwei Boote starten vom selben Punkt und bewegen sich auf derselben Geraden mit konstanten Geschwindigkeiten von 25 km/h und 35 km/h. Die Kommunikation zwischen den beiden Booten ist per Funk möglich, solange der Abstand zwischen ihnen 600 km nicht überschreitet. Bestimmen Sie die Zeitspanne, während der die beiden Boote miteinander kommunizieren können, unter der Annahme, dass:
a) Die beiden Boote bewegen sich in dieselbe Richtung;
b) Das langsamere Boot startet zwei Stunden vor dem anderen und bewegt sich in dieselbe Richtung;
c) Die beiden Boote starten gleichzeitig und bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen.

Gegebene Daten:

  • Geschwindigkeit von Boot 1: v1 = 25 km/h;
  • Geschwindigkeit von Boot 2: v2 = 35 km/h;
  • Maximale Kommunikationsentfernung: Δt = 600 km.

Schema des Problems:

Wir wählen ein Bezugssystem, dessen positive Achse nach rechts orientiert ist (Abbildung 1).

Abb. 1

Da der Punkt, von dem die Boote starten, der Ursprung des Bezugssystems ist, gilt S01 = S02 = 0

Lösung:

a) Die Boote bewegen sich mit konstanten Geschwindigkeiten und führen eine Gleichförmige Geradlinige Bewegung aus, gegeben durch

\[ \begin{gather} \bbox[background:#99CCFF; padding:10px; border-radius:10px;] {S=S_0+vt} \end{gather} \]

indem wir diese Gleichung für jedes der Boote schreiben

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0+25t \\[5pt] S_1=25t \tag{I-a} \\[10pt] \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{I-b} \end{gather} \]

Das Boot 2 mit der höheren Geschwindigkeit entfernt sich von Boot 1, bis der Abstand zwischen den beiden größer als 600 km ist und die Kommunikation nicht mehr möglich ist (Abbildung 2).

Abb. 2

Berechnen wir die Differenz zwischen den Gleichungen (I-a) und (I-b).

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} \qquad\quad S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=25t \end{align} } {S_2-S_1=35t-25t} \end{gather} \]

Dabei gilt ΔS = S2 − S1 = 600 km

\[ \begin{gather} \Delta S=10t \\[5pt] 10t=600 \\[5pt] t=\frac{600}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=60\;\mathrm h} \end{gather} \]

b) Boot 1 startet und fährt 2 Stunden lang vom Ausgangspunkt weg, während Boot 2 stehen bleibt. Während dieses Zeitintervalls ist die Kommunikation zwischen den beiden Booten möglich. Wenn Boot 1 eine Position S1 erreicht, startet Boot 2 vom Ursprung und fährt weiter, bis es Boot 1 überholt. Es entfernt sich weiter, bis der Abstand zwischen den beiden größer als 600 km ist und die Kommunikation nicht mehr möglich ist (Abbildung 3).

Abb. 3

Sei t die Bewegungszeit von Boot 2. Die Bewegungszeit von Boot 1 beträgt dann t+2, was bedeutet, dass es zwei Stunden länger unterwegs ist. Schreiben wir die Bewegungsgleichungen auf.

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1(t+2) \\[5pt] S_1=0+25(t+2) \\[5pt] S_1=25(t+2) \tag{II-a} \\[10pt] \end{gather} \]
\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{II-b} \end{gather} \]

Berechnen wir die Differenz zwischen den beiden Gleichungen (II-a) und (II-b).

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=25(t+2) \end{align} } {S_2-S_1=35t-25(t+2)} \\[5pt] \Delta S=35t-25t-50 \\[5pt] 10t=600+50 \\[5pt] t=\frac{650}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=65\;\mathrm h} \end{gather} \]

c) Wir nehmen an, dass Boot 1 entgegen der Orientierung der Bahn startet. Seine Geschwindigkeit ist daher negativ (v1=−25 km/h – Abbildung 4).

Abb. 4

Die Bewegungsgleichungen für die beiden Boote lauten

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t \\[5pt] S_1=0-25t \\[5pt] S_1=-25t \tag{III-a} \\[10pt] S_2=S_{02}+v_2 t \\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{III-b} \end{gather} \]

Berechnen wir die Differenz zwischen den beiden Gleichungen (III-a) und (III-b).

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=-25t \end{align} } {S_2-S_1=35t+25t} \\[5pt] \Delta S=60t \\[5pt] 60t=600 \\[5pt] t=\frac{600}{60} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[background:#FFCCCC; padding:10px; border-radius:10px;] {t=10\;\mathrm h} \end{gather} \]
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