Ejercicio Resuelto sobre Movimiento Unidimensional

Dos barcos parten de un mismo punto y se desplazan sobre una misma recta, con velocidades constantes de 25 km/h y 35 km/h. La comunicación entre los dos barcos es posible, por radio, mientras la distancia entre ellos no supere los 600 km. Determinar el tiempo durante el cual los dos barcos pueden comunicarse, admitiendo que:
a) Los dos barcos se mueven en el mismo sentido;
b) El barco más lento parte dos horas antes que el otro y se mueve en el mismo sentido;
c) Los dos barcos parten al mismo tiempo y se mueven en sentidos opuestos.

Datos del problema:

Velocidad del barco 1: v₁ = 25 km/h;
Velocidad del barco 2: v₂ = 35 km/h;
Distancia máxima de comunicación: Δt = 600 km.

Esquema del problema:

Tomaamos un sistema de referencia con el eje positivo orientado hacia la derecha (Figura 1).

Figura 1

Considerando que el punto desde donde parten los barcos es el origen del referencial S₀₁ = S₀₂ = 0

Solución

a) Los barcos se mueven con velocidades constantes, están en Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU), dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+vt} \end{gather} \]

escribiendo esta ecuación para cada uno de los barcos

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t\\[5pt] S_1=0+25t\\[5pt] S_1=25t \tag{I-a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t\\[5pt] S_2=0+35t\\[5pt] S_2=35t \tag{I-b} \end{gather} \]

El barco 2, de mayor velocidad, se aleja del barco 1 hasta que la distancia entre los dos sea mayor que 600 km y la comunicación deje de ser posible (Figura 2).

Figura 2

Calculando la diferencia entre las ecuaciones (I-a) y (I-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} \qquad\quad S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=25t \end{align} } {S_2-S_1=35t-25t} \end{gather} \]

Siendo ΔS = S₂ − S₁ = 600 km

\[ \begin{gather} \Delta S=10t\\[5pt] 10t=600\\[5pt] t=\frac{600}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=60\;\mathrm h} \end{gather} \]

b) El barco 1 parte y navega durante 2 horas alejándose del punto de partida, mientras que el barco 2 permanece inmóvil. Durante este intervalo de tiempo, la comunicación entre los dos barcos es posible. Cuando el barco 1 alcanza una posición S₁, el barco 2 parte desde el origen y navega hasta sobrepasar al barco 1, alejándose hasta que la distancia entre ellos sea mayor que 600 km y la comunicación deje de ser posible (Figura 3).

Figura 3

Siendo t el tiempo de desplazamiento del barco 2 y el tiempo de desplazamiento del barco 1 será t+2, indicando que él tiene dos horas más de viaje, escribiendo las ecuaciones de movimiento

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1(t+2)\\[5pt] S_1=0+25(t+2)\\[5pt] S_1=25(t+2) \tag{II-a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t\\[5pt] S_2=0+35t\\[5pt] S_2=35t \tag{II-b} \end{gather} \]

Calculando la diferencia entre las dos expresiones (II-a) y (II-b).

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=25(\;t+2\;) \end{align} } {S_2-S_1=35t-25(t+2)}\\[5pt] \Delta S=35t-25t-50\\[5pt] 10t=600+50\\[5pt] t=\frac{650}{10} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=65\;\mathrm h} \end{gather} \]

c) Vamos a adoptar que el barco 1 parte en sentido contrario a la orientación de la trayectoria, su velocidad será negativa (v₁=−25 km/h - Figura 4).

Figura 4

Las ecuaciones de este movimiento para los dos barcos serán

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_1 t\\[5pt] S_1=0-25t\\[5pt] S_1=-25t \tag{III-a} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_2 t\\[5pt] S_2=0+35t \\[5pt] S_2=35t \tag{III-b} \end{gather} \]

Calculando la diferencia entre las dos ecuaciones (III-a) y (III-b)

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{align} S_2 &=35t\\ \mathrm{(-)}\qquad S_1 &=-25t \end{align} } {S_2-S_1=35t+25t}\\[5pt] \Delta S=60t\\[5pt] 60t=600\\[5pt] t=\frac{600}{60} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=10\;\mathrm h} \end{gather} \]

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