Exercice Résolu sur les Dioptrique
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PT-BR
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Au sommet du plafond d’un sous-marin, une source de lumière isotrope a été placée (c'est-à-dire qu’elle émet de la lumière uniformément dans toutes les directions). Lorsque ce sous-marin est submergé, quelle fraction de la lumière émerge à la surface de l’eau de mer, dont l’indice de réfraction est de 1,34? On néglige la possibilité qu’une partie de la lumière soit absorbée par l’eau.
Données du problème:
- Indice de réfraction de l’eau de mer: nm = 1,34;
- Indice de réfraction de l’airr: na = 1.
Solution:
La lumière émise par la source se propage uniformément dans une sphère imaginaire autour de la source (Figure 1-A). Il existe un angle limite où le rayon lumineux devient tangent à la surface de la mer. Si un rayon émis par la source a un angle inférieur à cet angle limite, il sort dans l’air, mais si l’angle est supérieur, le rayon est réfléchi dans l’eau. On appelle A1 la surface de la sphère contenant toute la lumière émise par la source et A2 la surface de la calotte sphérique à travers laquelle la lumière sort dans l’air.
En prenant R comme le rayon de la sphère entourant la source (Figure 1-B), la surface de la sphère est donnée par
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A_1=4\pi R^2}
\end{gather}
\]
si h est la hauteur de la calotte qui se trouve au-dessus de l’eau, sa surface sera
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{A_2=2\pi Rh}
\end{gather}
\]
l’angle limite θL et le rayon seront donnés par
\[
\begin{gather}
R=L+h \tag{I}
\end{gather}
\]
Ainsi, la fraction de lumière f qui émergera sera donnée par la surface de la calotte hors de l’eau,
A2, divisée par la surface totale de la sphère, A1
\[
\begin{gather}
f=\frac{A_2}{A_1}=\frac{\cancel 2\cancel{\pi}\cancel Rh}{\cancelto{2}{4}\cancel{\pi}R^{\cancel 2}}=\frac{h}{2R} \tag{II}
\end{gather}
\]
Pour déterminer la fraction de lumière qui émerge, il suffit de calculer h. La Figure 2 montre un
rayon qui sort de la source lumineuse et émerge avec un angle limite θL. En
traçant une ligne verticale N au point où le rayon émerge, l’angle θL
entre R et L est le même que celui entre R et N, puisqu’il s’agit d’angles
alternes internes.
En appliquant la Loi de Snell-Descartes
En appliquant la Loi de Snell-Descartes
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
n_m\sin\theta_{\small L}=n_a\sin90°\\[5pt]
\sin\theta_{\small L}=\frac{n_a}{n_m}\sin90°
\end{gather}
\]
De la Trigonométrie \( \sin90°=1 \)
\[
\begin{gather}
\sin\theta _L=\frac{n_a}{n_m}1\\[5pt]
\sin\theta _L=\frac{n_a}{n_m}\tag{III}
\end{gather}
\]
À partir de cette figure, on peut aussi obtenir le cosinus de l’angle limite Desta figura também podemos obter o cosseno do ângulo limite
\[
\begin{gather}
\cos \theta_{\small L}=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\frac{L}{R}\\[5pt]
R\cos \theta_{\small L}=L
\end{gather}
\]
d’après l’équation (I), on a L=R−h
\[
\begin{gather}
R\cos \theta_{\small L}=R-h\\[5pt]
h=R-R\cos\theta_{\small L}\\[5pt]
h=R\left(1-\cos\theta_{\small L}\right) \tag{IV}
\end{gather}
\]
De la Trigonométrie
\[
\begin{gather}
\cos^2\theta+\sin^2\theta =1\\[5pt]
\cos \theta =\sqrt{1-\sin^2\theta \;}
\end{gather}
\]
en remplaçant cette valeur du cosinus dans l’équation (IV)
\[
\begin{gather}
h=R\left(1-\sqrt{1-\sin^2\theta _L\;}\right)
\end{gather}
\]
en substituant l’équation (III)
\[
\begin{gather}
h=R\left[1-\sqrt{1-\left(\frac{n_a}{n_m}\right)^2\;}\right] \tag{V}
\end{gather}
\]
en remplaçant l’équation (V) dans l’équation (II)
\[
\begin{gather}
f=\frac{\cancel R\left[1-\sqrt{1-\left(\dfrac{n_a}{n_m}\right)^2\;}\right]}{2\cancel R}\\[5pt]
f=\frac{1}{2}\left[1-\sqrt{1-\left(\frac{n_a}{n_m}\right)^2\;}\right]\\[5pt]
f=\frac{1}{2}\left[1-\sqrt{1-\left(\frac{1}{1,34}\right)^2\;}\right]\\
f=0,167
\end{gather}
\]
La fraction de lumière qui émerge de la mer est de
16,7%.
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