Exercice Résolu sur les Vecteurs
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Quels sont les composants des vecteurs de modules 8 et 6 (voir figure)?


Données du problème:
  • Module du vecteur 1:    v1 = 8;
  • Angle du vecteur 1:    θ1 = 60° avec l'axe des x positif;
  • Module du vecteur 2:    v2 = 6;
  • Angle du vecteur 2:    θ2 = 30° avec l'axe des x négatif.
Solution:
  • Pour le vecteur v1:

L'angle mesuré entre l'axe des x positif dans le sens anti-horaire a une valeur positive (Figure 1). La composante dans la direction x est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_x=v\cos\theta} \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{x1}=v_1\cos\theta_1\\[5pt] v_{x1}=8\cos60° \end{gather} \]
Figure 1

D'après la Trigonométrie:   \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)

\[ \begin{gather} v_{x1}=8\times{\frac{1}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{x1}=4} \end{gather} \]

La composante dans la direction y est donnée par (Figure 1)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_y=v\sin\theta} \tag{II} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{y1}=v_1\sin\theta_1\\[5pt] v_{y1}=6\sin 60° \end{gather} \]

D'après la Trigonométrie:   \( \sin 60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)

\[ \begin{gather} v_{y1}=6\times{\frac{\sqrt{3\;}}{2}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{y1}\approx 5,2} \end{gather} \]

  • Pour le vecteur v2:
L'angle mesuré entre l'axe des x positif dans le sens anti-horaire a une valeur positive, 180°+30°=210°180°+30°=210°. L'angle mesuré entre l'axe des x positif dans le sens horaire a une valeur négative, −180°+30°=−150° (Figure 2). La composante dans la direction x est donnée en appliquant la formule (I)
\[ \begin{gather} v_{x2}=v_2\cos\theta_2\\[5pt] v_{x2}=6\cos210° \end{gather} \]
Figure 2

D'après la Trigonométrie:   \( \cos 210°=\cos (-150°)=-\cos30°=-{\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}} \)

\[ \begin{gather} v_{x2}=6\times\left(-{\frac{\sqrt{3\;}}{2}}\right) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{x2}\approx -5,2} \end{gather} \]
La composante dans la direction y est donnée en appliquant la formule (II) (Figure 2)
\[ \begin{gather} v_{y2}=v_2\sin\theta_2\\[5pt] v_{y2}=6\sin 210° \end{gather} \]

D'après la Trigonométrie:   \( \sin 210°=\sin(-150°)=-\sin 30°=-{\dfrac{1}{2}} \)
\[ \begin{gather} v_{y2}=6\times\left(-{\frac{1}{2}}\right) \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{y2}=-3} \end{gather} \]
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