Ejercicio Resuelto sobre Vectores
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¿Cuáles son las componentes de los vectores con módulos 8 y 6 (ver figura)?
Datos del problema:
- Módulo del vector 1: v1 = 8;
- Ángulo del vector 1: θ1 = 60° con el eje-x positivo;
- Módulo del vector 2: v2 = 6;
- Ángulo del vector 2: θ2 = 30° con el eje-x negativo.
- Para el vector v1:
El ángulo medido entre el eje-x positivo en sentido antihorario tiene valor positivo (Figura 1).
La componente en la dirección x se da por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_x=v\cos\theta} \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{x1}=v_1\cos\theta_1\\[5pt]
v_{x1}=8\cos60°
\end{gather}
\]
De la Trigonometría: \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
\[
\begin{gather}
v_{x1}=8\times{\frac{1}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{x1}=4}
\end{gather}
\]
La componente en la dirección y se da por (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_y=v\operatorname{sen}\theta} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{y1}=v_1\operatorname{sen}\theta_1\\[5pt]
v_{y1}=6\operatorname{sen}60°
\end{gather}
\]
De la Trigonometría: \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
v_{y1}=6\times {\frac{\sqrt{3\;}}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{y1}\approx 5,2}
\end{gather}
\]
- Para el vector v2:
El ángulo medido entre el eje-x positivo en sentido antihorario tiene valor positivo,
180°+30°=210°. El ángulo medido entre el eje-x positivo en sentido horario tiene valor negativo,
−180°+30°=−150° (Figura 2). La componente en la dirección x se da aplicando la
fórmula (I)
\[
\begin{gather}
v_{x2}=v_2\cos\theta_2\\[5pt]
v_{x2}=6\cos210°
\end{gather}
\]
De la Trigonometría: \( \cos 210°=\cos (-150°)=-\cos30°=-{\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}} \)
\[
\begin{gather}
v_{x2}=6\times\left(-{\frac{\sqrt{3\;}}{2}}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{x2}\approx -5,2}
\end{gather}
\]
La componente en la dirección y se da aplicando la fórmula (II) (Figura 2)
\[
\begin{gather}
v_{y2}=v_2\operatorname{sen}\theta_2\\[5pt]
v_{y2}=6\operatorname{sen}210°
\end{gather}
\]
De la Trigonometría: \( \operatorname{sen}210°=\operatorname{sen}(-150°)=-\operatorname{sen}30°=-{\dfrac{1}{2}} \)
\[
\begin{gather}
v_{y2}=6\times\left(-{\frac{1}{2}}\right)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{y2}=-3}
\end{gather}
\]
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