Exercice Résolu sur les Miroirs Sphériques

Déterminer la position et la hauteur de l'image conjuguée par un miroir sphérique de rayon 60 cm, à un objet de hauteur 3 cm situé à 20 cm du sommet d'un miroir convexe.

Données du problème:

Rayon de courbure du miroir: R = 60 cm;
Hauteur de l'objet: o = 3 cm;
Distance de l'objet au sommet du miroir: p = 20 cm.

Schéma du problème:

En utilisant la convention des signes, la direction horizontale d'où provient le rayon de lumière est positive (à gauche, où se trouve l'objet) et vers le haut dans la direction verticale (Figure 1).

Figure 1

La distance entre le foyer et le sommet, f, sera la moitié du rayon de courbure. Comme le miroir est convexe, son foyer est négatif (f < 0)

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f=-{\frac{R}{2}}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} f=-{\frac{60}{2}}\\[5pt] f=-30\;\mathrm{cm} \tag{I} \end{gather} \]

Construction de l'image dans le miroir convexe

En dessinant un premier rayon de lumière en utilisant la propriété des miroirs sphériques selon laquelle tout rayon de lumière incident parallèle à l'axe principal est réfléchi en passant par le foyer principal du miroir (Figure 2).

Figure 2

En dessinant un deuxième rayon avec la propriété selon laquelle tout rayon de lumière incident sur le sommet du miroir se réfléchit de manière symétrique par rapport à l'axe principal (Figure 3). Comme il n'y a pas d'intersection des rayons réfléchis en face du miroir, nous voyons qu'ils se croisent derrière le miroir où l'image se forme.

Figure 3

Figure 4

Solution

En appliquant l'Équation des Miroirs, nous calculons la distance de l'image au miroir, q

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} \end{gather} \]

en utilisant la distance de l'objet au miroir, p, donnée dans le problème et la distance focale, f, obtenue dans l'expression (I)

\[ \begin{gather} \frac{1}{-30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{q}\\[5pt] -{\frac{1}{30}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{q}\\[5pt] \frac{1}{q}=-{\frac{1}{30}}-\frac{1}{20} \end{gather} \]

le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) entre 30 et 20 est 60

\[ \begin{gather} \frac{1}{q}=\frac{-2-3}{60}\\[5pt] \frac{1}{q}=\frac{-5}{60}\\[5pt] q=-{\frac{60}{5}} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {q=-12\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]

Pour calculer la hauteur de l'image, i, le grandissement est donné par

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{i}{o}=-{\frac{q}{p}}} \end{gather} \]

en utilisant la distance de l'objet au miroir et la hauteur de l'objet données dans le problème, ainsi que la distance de l'image au miroir obtenue précédemment

\[ \begin{gather} \frac{i}{3}=-{\frac{(-12)}{20}}\\[5pt] \frac{i}{3}=\frac{12}{20}\\[5pt] i=\frac{3\times 12}{20}\\[5pt] i=\frac{36}{20} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i=1,8\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]

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