Exercício Resolvido de Espelhos Esféricos
publicidade   



Determinar a posição e altura da imagem conjugada por um espelho esférico de raio 60 cm, a um objeto de altura 3 cm situado a 20 cm do vértice de um espelho convexo.


Dados do problema:
  • Raio de curvatura do espelho:    R = 60 cm;
  • Altura do objeto:    o = 3 cm;
  • Distância do objeto ao vértice do espelho:    p = 20 cm.
Esquema do problema:

Adotamos um Referencial de Gauss, sendo positiva a direção horizontal de onde vem o raio de luz (à esquerda, onde está o objeto) e para cima na direção vertical (Figura 1).
Figura 1

A distância do foco ao vértice, f, será a metade do raio de curvatura. R, como o espelho é convexo seu foco é negativo (f < 0)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {f=-{\frac{R}{2}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} f=-{\frac{60}{2}}\\[5pt] f=-30\;\mathrm{cm} \tag{I} \end{gather} \]
Construção da imagem no espelho convexo

Desenhando um primeiro raio de luz usando a propriedade dos espelhos esféricos que diz que todo raio de luz que incide paralelamente ao eixo principal é refletido passando pelo foco principal do espelho (Figura 2).
Figura 2

Desenhando um segundo raio com a propriedade de que todo raio de luz que incide no vértice do espelho reflete-se de forma simétrica ao eixo principal (Figura 3). Como não há cruzamento dos raios refletidos na frente do espelho, vemos que eles se cruzam atrás do espelho onde se forma a imagem.
Figura 3

Figura 4

Solução

Aplicando a Equação dos Pontos Conjugados, calculamos a distância da imagem ao espelho, p'
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}} \end{gather} \]
usando a distância do objeto ao espelho, p, dada no problema e a distância focal, f, obtida na expressão (I)
\[ \begin{gather} \frac{1}{-30}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\[5pt] -{\frac{1}{30}}=\frac{1}{20}+\frac{1}{p'}\\[5pt] \frac{1}{p'}=-{\frac{1}{30}}-\frac{1}{20} \end{gather} \]
o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre 30 e 20 é 60
\[ \begin{gather} \frac{1}{p'}=\frac{-2-3}{60}\\[5pt] \frac{1}{p'}=\frac{-5}{60}\\[5pt] p'=-{\frac{60}{5}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {p'=-12\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]
Aplicando a Equação do Aumento Linear Transversal, calculamos o tamanho da imagem, i
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\frac{i}{o}=-{\frac{p'}{p}}} \end{gather} \]
usando a distância do objeto ao espelho e a altura do objeto dados no problema e a distância da imagem ao espelho obtida acima
\[ \begin{gather} \frac{i}{3}=-{\frac{(-12)}{20}}\\[5pt] \frac{i}{3}=\frac{12}{20}\\[5pt] i=\frac{3\times 12}{20}\\[5pt] i=\frac{36}{20} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {i=1,8\;\mathrm{cm}} \end{gather} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .