Exercice Résolu sur les Dynamique
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Deux blocs, de masses mA = 0,35 kg et mB = 1,15 kg, reposent sur une surface horizontale parfaitement lisse, les blocs sont reliés par un fil idéal. Une force horizontale d'intensité constante égale à 15 N est appliquée en tirant les deux blocs. Calculer l'accélération acquise par l'ensemble et la tension dans le fil qui relie les blocs.


Données du problème:
  • Masse du corps A:    mA = 0,35 kg;
  • Masse du corps B:    mB = 1,15 kg;
  • Force appliquée à l'ensemble:    F = 15 N.
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel orienté vers la droite dans le même sens que la force \( \vec F \) appliquée, cette force produit une accélération a sur l'ensemble.
Figure 1

En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les blocs.

  • Corps A
    • Direction horizontale:
      • \( \vec T \): force de tension dans le fil.
    • Direction verticale:
      • \( {\vec N}_{\small A} \): force de réaction normale de la surface sur le corps;
      • \( {\vec P}_{\small A} \): poids du corps A.
Figura 2

  • Corps B:
    • Direction horizontale:
      • \( \vec F \): force appliquée au système;
      • \( -\vec T \): force de tension dans le fil.
    • Direction verticale:
      • \( {\vec N}_{\small B} \): force de réaction normale de la surface sur le corps;
      • \( {\vec P}_{\small B} \): poids du corps B.
Figure 3

Solution

En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corps A:
Dans la direction verticale, il n'y a pas de mouvement, la force normale et le poids se annulent.
Dans la direction horizontale
\[ \begin{gather} T=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
  • Corps B:
Dans la direction verticale, il n'y a pas de mouvement, la force normale et le poids se annulent.
Dans la direction horizontale
\[ \begin{gather} F-T=m_{\small B}a \tag{II} \end{gather} \]
Les équations (I) et (II) forment un système de deux équations à deux inconnues (T et a)
\[ \left\{ \begin{array}{rr} T&=m_{\small A}a\\ F-T&=m_{\small B}a \end{array} \right. \]
en remplaçant l'équation (I) dans l'équation (II), on obtient l'accélération
\[ \begin{gather} F-m_{\small A}a=m_{\small B}a\\[5pt] a=\frac{F}{m_{\small A}+m_{\small B}}\\[5pt] a=\frac{15}{0,35+1,15}\\[5pt] a=\frac{15}{1,5} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=10\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Remarque: la corde qui relie les deux blocs est idéale, ce qui signifie que nous pouvons la considérer comme inextensible et de masse négligeable. La seule fonction du fil est de transmettre la force d'un bloc à l'autre. Les deux blocs forment un ensemble soumis à la même force, ils ont la même accélération, le système se comporte comme s'il s'agissait d'un seul bloc de masse totale donnée par la somme des masses des deux blocs A et B.

En remplaçant l'accélération trouvée ci-dessus dans l'équation (I), on obtient la force de tension dans le fil.
\[ \begin{gather} T=0,35\times 10 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T=3,5\;\mathrm N} \end{gather} \]

Remarque: de manière analogue, on pourrait remplacer l'accélération dans l'équation (II) pour obtenir la tension dans le fil, dans ce cas, on aurait
\[ \begin{gather} 15-T=1,15\times 10\Rightarrow 15-T=11,5\Rightarrow T=3,5\;\mathrm N \end{gather} \]
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