Exercício Resolvido de Integral de Contorno
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f) \( f(z)=y-x^{2} \), ao longo do caminho formado por dois segmentos, o primeiro segmento que vai da origem ao ponto (0, 1), e o segundo segmento que vai do ponto (0, 1) ao ponto (2, 1).
A curva é formada por dois segmentos γ1 e γ2, que devem ser parametrizados separadamente.
A parametrização de uma reta é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{z(t)=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})}
\end{gather}
\]
- Parametrização da curva γ1 (Figura 1)
Pontos inicial e final da curva,
\( z_{1}=0+0i \)
e
\( z_{2}=0+i \)
\[
\begin{gather}
z_{\gamma_{1}}(t)=(0+0i)+t[(0+i)-(0+0i)]\\[5pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad z_{\gamma _{1}}(t)=it\qquad ,\qquad \ 0\leqslant t\leqslant 1 \tag{I}
\end{gather}
\]
- Derivada de zγ1(t) = it
\[
\begin{gather}
z'_{\gamma 1}(t)=\frac{dz_{\gamma 1}}{dt}=i \tag{II}
\end{gather}
\]
A integral de contorno é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\int f(z)\;dz=\int f(z(t))z'(t)\;dt}
\end{gather}
\]
- Integral de f(z)=y−x2
\[
\begin{gather}
f(z)=y-x^{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
Integral sobre a curva γ1
\[
\begin{gather}
I_{1}=\int_{\gamma 1}f(z_{\gamma 1}(t))z'_{\gamma 1}(t)\;dt \tag{IV}
\end{gather}
\]
usando a expressão (I) obtemos f(zγ1(t))
\[
\begin{gather}
z_{\gamma 1}(t)=\underbrace{\ 0\ }_{x(t)}+\underbrace{\ t\ }_{y(t)}i \tag{V}
\end{gather}
\]
substituindo os valores de x(t) e y(t) da expressão (V) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
f(z_{\gamma 1}(t))=t-0^{2}\\
f(z_{\gamma1}(t))=t \tag{VI}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (VI) na expressão (IV)
\[
\begin{align}
I_{1} &=\int_{0}^{1}(t)(i)\;dt=\int_{0}^{1}ti\;dt=\\[5pt]
&=i\int_{0}^{1}t\;dt=i\;\left(\left.\frac{t^{2}}{2}\;\right|_{0}^{1}\right)=\\[5pt]
&=i\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}i \tag{VII}
\end{align}
\]
- Parametrização da curva γ2 (Figura 2)
Pontos inicial e final da curva,
\( z_{2}=0+i \)
e
\( z_{3}=2+i \)
\[
\begin{gather}
z_{\gamma_{2}}(t)=(0+i)+t[(2+1i)-(0+i)]\\[5pt]
z_{\gamma_{2}}(t)=i+t[2+i-i]\\[5pt]
\qquad \qquad \qquad \qquad z_{\gamma_{2}}(t)=2t+i\qquad ,\qquad 0\leqslant t\leqslant 1 \tag{VIII}
\end{gather}
\]
- Derivada de zγ2(t) = 2t+i
\[
\begin{gather}
z'_{\gamma 2}(t)=\frac{dz}{dt}=2 \tag{IX}
\end{gather}
\]
- Integral de f(z)=y−x2
\[
\begin{gather}
I_{2}=\int_{\gamma 2}f(z_{\gamma 2}(t))z'_{\gamma 2}(t)\;dt \tag{X}
\end{gather}
\]
usando a expressão (VIII) obtemos f(zγ2(t))
\[
\begin{gather}
z_{\gamma 2}(t)=\underbrace{\ 2t\ }_{x(t)}+\underbrace{\ 1\ }_{y(t)}i \tag{XI}
\end{gather}
\]
substituindo os valores de x(t) e y(t) da expressão (XI) na expressão (III)
\[
\begin{gather}
f(z_{\gamma 2}(t))=1-(2t)^{2}\\
f(z_{\gamma 2}(t))=1-4t^{2} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (IX) e (XII) na expressão (X)
\[
\begin{align}
I_{2} &=\int_{0}^{1}(1-4t^{2}).(2)\;dt=\int_{0}^{1}(2-8t^{2})\;dt= \\[5pt]
&=2\int_{0}^{1}\;dt-8\int_{0}^{1}t^{2}\;dt=2\;\left(\left.t\;\right|_{0}^{1}\right)-8\;\left(\left.\frac{t^{3}}{3}\;\right|_{0}^{1}\right)=\\[5pt]
&=2.(1)-8.\left(\frac{1}{3}\right)=2-\frac{8}{3}=\frac{6-8}{3}=-{\frac{2}{3}} \tag{XIII}
\end{align}
\]
O resultado final será dado pela soma das integrais sobre os dois segmentos (VII) e (XIII)
\[
\begin{gather}
I=I_{1}+I_{2}\\[5pt]
I=\frac{1}{2}i-\frac{2}{3}\\[5pt]
I=\frac{3i-4}{6}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\int_{0}^{2+i}f(z)\;dz=\frac{-4+3i}{6}}
\end{gather}
\]
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