Exercício Resolvido de Integral de Contorno
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a) \( f(z)=z \),   ao longo do caminho que vai da origem ao ponto 1+i.

  • Parametrização da curva γ (Figura 1)
A parametrização de uma reta é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {z(t)=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})} \end{gather} \]
onde z1 e z2 são os pontos inicial e final da curva,   \( z_{1}=0+0i \)   e   \( z_{2}=1+i \)
\[ \begin{gather} z(t)=(0+0i)+t[(1+i)-(0+0i)]\\[5pt] z(t)=t[1+i]\ \ \phantom{{}}\\[5pt] \qquad \qquad \qquad \qquad z(t)=t+it\qquad ,\qquad 0\leqslant t\leqslant 1 \tag{I} \end{gather} \]
Figura 1
  • Derivada de   z(t) = t+it
\[ \begin{gather} z'(t)=\frac{dz}{dt}=1+i \tag{II} \end{gather} \]
A integral de contorno é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\int f(z)\;dz=\int f(z(t))z'(t)\;dt} \tag{III} \end{gather} \]
  • Integral de   f(z) = z
\[ \begin{gather} f(z)=z=x+iy \tag{IV} \end{gather} \]
usando a expressão (I) obtemos f(z(t))
\[ \begin{gather} z(t)=\underbrace{\ t\ }_{x(t)}+\underbrace{\ t\ }_{y(t)}i \tag{V} \end{gather} \]
substituindo os valores de x(t) e y(t) da expressão (V) na expressão (IV)
\[ \begin{gather} f(z(t))=t+it \tag{VI} \end{gather} \]
substituindo as expressões (II) e (VI) na expressão (III)
\[ \begin{split} \int f(z)\;dz &=\int_{0}^{1}(t+it)(1+i)\;dt=\\[5pt] &=\int_{0}^{1}t(1+i)(1+i)\;dt=\\[5pt] &=\int_{0}^{1}t(1+i)^{2}\;dt=\\[5pt] &=(1+i)^{2}\int_{0}^{1}t\;dt=\\[5pt] &=(1^{2}+2i+i^{2})\;\left(\left.\frac{t^{2}}{2}\;\right|_{0}^{1}\right)=\\[5pt] &=(1+2i-1)\;\left(\frac{1}{2}\right)=\\[5pt] &=\cancel{2} i.\frac{1}{\cancel{2}} \end{split} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\int_{0}^{1+i}f(z)\;dz=i} \end{gather} \]
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