Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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c) \( \displaystyle \oint_{{C}}\frac{\cos z}{z}\;dz \)
O caminho é dado pelo contorno C (Figura 3). Podemos dividir o contorno C em duas partes,
um contorno C1 externo, percorrido no sentido anti-horário, a integral será positiva,
E um contorno C2 interno percorrido no sentido anti-horário, a integral será positiva.
O ponto z = 0 está no interior da região determinada pelos dois contornos C1 e
C2.
A integral é reescrita como
A integral é reescrita como
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{z}{(z+1)(z-2)}\;dz=\underbrace{\oint_{{C_{1}}}\frac{\cos z}{z}\;dz}_{I_{1}}+\underbrace{\oint_{{C_{2}}}\frac{\cos z}{z}\;dz}_{I_{2}}
\end{gather}
\]
A Fórmula Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos das integrais.
- Integral I1:
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{C}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{C_{1}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{\operatorname{cos z}}}
{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{0}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
temos
\( f(z)=\cos z \),
z0 = 0 e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
I_{1}=\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{1}=\oint_{C_{1}}\frac{\cos z}{z}\;dz=\frac{2\pi \mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(0)\\[5pt]
I_{1}=2\pi \mathrm{i}\cancelto{1}{\cos0}\;\\[5pt]
I_{1}=2\pi \mathrm{i} \tag{II}
\end{gather}
\]
- Integral I2:
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{C}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{C_{2}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{\operatorname{cos z}}}
{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{0}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
temos
\( f(z)=\cos z \),
z0 = 3 e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
I_{1}=\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
I_{1}=\oint_{C_{2}}\frac{\cos z}{z}\;dz=\frac{2\pi \mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(0)\\[5pt]
I_{1}=2\pi \mathrm{i}\cancelto{1}{\cos0}\;\\[5pt]
I_{1}=2\pi \mathrm{i} \tag{III}
\end{gather}
\]
O resultado da integral será dado pela soma dos valores de (II) e (III)
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{\cos z}{z}\;dz=I_{1}+I_{2}\\[5pt]
\oint_{{C}}\frac{\cos z}{z}\;dz=2\pi \mathrm{i}+2\pi \mathrm{i}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{C}}\frac{\cos z}{z}\;dz=4\pi \mathrm{i}}
\end{gather}
\]
Observação 1: Não precisamos conhecer a equação que descreve o contorno C para o
cálculo, basta saber se os pontos de singularidade estão dentro ou fora da região determinada pelo
contorno.
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
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