Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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h) \( \displaystyle \oint_{{|z|=2}}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz \)
O caminho é dado pela circunferência de raio 2 com centro na origem (0, 0), percorrida no sentido
anti-horário (Figura 1).
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{C}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\oint_{|z|=2}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz
\end{gather}
\]
os pontos
\( z^{2}-9=0\Rightarrow z^{2}=9\Rightarrow z=\pm 3 \)
estão fora da região determinada pelo contorno C, apenas o ponto
\( z+\mathrm{i}=0\Rightarrow z=-\mathrm{i} \)
que está no interior da região será usado no cálculo da integral.
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{{|z|=2}}
\bbox[#FFFF66,2px]
{\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)}}
\frac{1}{\left[z-(
\bbox[#FFD9CC,2px]
{-\mathrm{i}}
)\right]^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
temos
\( f(z)=\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)} \),
z0 = −i e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
\oint_{{|z|=2}}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(-\mathrm{i})\\[5pt]
\oint_{{|z|=2}}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\frac{(-\mathrm{i})}{\left[(-\mathrm{i})^{2}-9\right]}\\[5pt]
\oint_{{|z|=2}}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz=2\pi\mathrm{i}^{2}\;\frac{1}{\left[\mathrm{i}^{2}-9\right]}\\[5pt]
\oint_{{|z|=2}}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz=2\pi.(-1)\;.\frac{1}{\left[-1-9\right]}\\[5pt]
\oint_{{|z|=2}}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz=-\cancel{2}\pi\;\frac{1}{-\cancelto{5}{10}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{|z|=2}}\frac{z}{\left(z^{2}-9\right)(z+\mathrm{i})}\;dz=\frac{\pi}{5}}
\end{gather}
\]
Observação 1: O caminho percorrido
\( |\;z\;|=2 \)
é uma circunferência. Para um número complexo
\( z=x+\mathrm{i}y \),
o módulo é dado por
\( \sqrt{x^{2}+y^{2}\;}=2 \),
elevando ao quadrado os dois lados da igualdade
\( \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}\right)^{2}=2^{2} \),
obtemos a equação de uma circunferência
\( (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=2^{2}, \)
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
\[ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=2^{2} \]
com raio igual a 2 e centro na origem (0, 0).
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
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