Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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e) \( \displaystyle \oint_{{|z-\mathrm{i}|=2}}\frac{\operatorname{sen}z}{z-\frac{\pi}{4}}\;dz \)
O caminho é dado pela circunferência de raio 2 com centro no ponto (0, 1), percorrida no sentido
anti-horário (Figura 1).
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{{|z|=2}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{\operatorname{sen}z}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{\frac{\pi}{4}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
o ponto
\( z-\frac{\pi}{4}=0\Rightarrow z=\frac{\pi}{4} \)
está no interior da região determinada pelo contorno C, ele será usado no cálculo da
integral, temos
\( f(z)=\operatorname{sen}z \),
\( z_{0}=\frac{\pi}{4} \)
e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral dada
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=2}}\frac{\operatorname{sen}z}{z-\frac{\pi}{4}}\;dz=\frac{2\pi \mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}\left(\frac{\pi}{4}\right)\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=2}}\frac{\operatorname{sen}z}{z-\frac{\pi}{4}}\;dz=2\pi \mathrm{i}\;\operatorname{sen}\frac{\pi }{4}\\[5pt]
\oint_{{|z-\mathrm{i}|=2}}\frac{\operatorname{sen}z}{z-\frac{\pi}{4}}\;dz=\cancel{2}\pi \mathrm{i}\;.\frac{\sqrt{2\;}}{\cancel{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{|z-\text{i}|=2}}\frac{\operatorname{sen}z}{z-\frac{\pi}{4}}\;dz=\sqrt{2\;}\pi \mathrm{i}}
\end{gather}
\]
Observação 1: O caminho percorrido
\( |\;z-\mathrm{i}\;|=2 \)
é uma circunferência. Para um número complexo
\( z=x+\mathrm{i}y-\mathrm{i}\Rightarrow x+\mathrm{i}(y-1), \)
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
\[ z=x+\mathrm{i}y-\mathrm{i}\Rightarrow x+\mathrm{i}(y-1) \]
o módulo é dado por
\( \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}=2, \)
\[ \sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}=2 \]
elevando ao quadrado os dois lados da igualdade
\( \left(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}\right)^{2}=2^{2}, \)
\[ \left(\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}\;}\right)^{2}=2^{2} \]
obtemos a equação de uma circunferência
\( (x-0)^{2}+(y-1)^{2}=2^{2}, \)
\[ (x-0)^{2}+(y-1)^{2}=2^{2} \]
com raio igual a 2 e centro no ponto (0, 1).
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
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