Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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d) \( \displaystyle \oint_{{|z|=1/2}}\frac{z^{2}+2z+3}{3z-1}\;dz \)
O caminho é dado pela circunferência de raio
\( \frac{1}{2} \)
com centro na origem (0, 0), percorrida no sentido
anti-horário (Figura 1).
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{{{n}}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{{f(z)}}{\left(z-{z_{0}}\right)^{{n}+1}}\;dz=\oint_{{|z|=1/2}}\frac{z^{2}+2z+3}{3z-1}\;dz
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{n!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{{f(z)}}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\oint_{{|z|=1/2}}\frac{{z^{2}+2z+3}}{3\left(z-{\frac{1}{3}}\right)^{0+1}}\;dz\\[5pt]
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{|z|=1/2}
\bbox[#FFFF66,2px]
{\frac{{z^{2}+2z+3}}{3}}
\frac{1}{\left(z-{
\bbox[#FFD9CC,2px]
{\frac{1}{3}}
}\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}
\end{gather}
\]
o ponto
\( z-\frac{1}{3}=0\Rightarrow z=\frac{1}{3} \)
está no interior da região determinada pelo contorno C, ele será usado no cálculo da
integral, temos
\( f(z)=\frac{z^{2}+2z+3}{3} \),
\( z_{0}=\frac{1}{3} \)
e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
\oint_{{|z|=1/2}}\frac{z^{2}+2z+3}{3z-1}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}\left(\frac{1}{3}\right)\\[5pt]
\oint_{{|z|=1/2}}\frac{{z^{2}+2z+3}}{3\left(z-{\frac{1}{3}}\right)}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}\left(\frac{1}{3}\right)\\[5pt]
\oint_{{|z|=1/2}}\frac{{z^{2}+2z+3}}{3\left(z-{\frac{1}{3}}\right)}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\frac{\left[\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+2.\frac{1}{3}+3\right]}{3}\\[5pt]
\oint_{{|z|=1/2}}\frac{{z^{2}+2z+3}}{3\left(z-{\frac{1}{3}}\right)}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;.\frac{1}{3}.\left[\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+3\right]\\[5pt]
\oint_{{|z|=1/2}}\frac{{z^{2}+2z+3}}{3\left(z-{\frac{1}{3}}\right)}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;.\frac{1}{3}.\left[\frac{1+6+27}{9}\right]\\[5pt]
\oint_{{|z|=1/2}}\frac{{z^{2}+2z+3}}{3\left(z-{\frac{1}{3}}\right)}\;dz=2.\frac{1}{3}.\frac{34}{3}\pi\mathrm{i}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{{|z|=1/2}}\frac{z^{2}+2z+3}{3z-1}\;dz=\frac{68}{27}\pi\mathrm{i}}
\end{gather}
\]
Observação 1: O caminho percorrido
\( |\;z\;|=1/2 \)
é uma circunferência. Para um número complexo
\( z=x+\mathrm{i}y \),
o módulo é dado por
\( \sqrt{x^{2}+y^{2}\;}=1/2 \),
elevando ao quadrado os dois lados da igualdade
\( \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}\right)^{2}=(1/2)^{2} \),
obtemos a equação de uma circunferência
\( (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(1/2)^{2}, \)
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
\[ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=(1/2)^{2} \]
com raio igual a 1/2 e centro na origem (0, 0).
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
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