Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy
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b) \( \displaystyle \oint_{{|z|=2}}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz \)
O caminho é dado pela circunferência de raio 2 com centro na origem (0, 0), percorrida no sentido
anti-horário (Figura 1).
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f^{(n)}(z_{0})=\frac{{n}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz} \tag{I}
\end{gather}
\]
Identificando os termos da integral
\[
\begin{gather}
\frac{{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
}!}{2\pi \mathrm{i}}\;\oint_{{C}}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{f(z)}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{z_{0}}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{n}
+1}}\;dz=\oint_{|z|=2}\frac{
\bbox[#FFFF66,2px]
{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}
}{\left(z-
\bbox[#FFD9CC,2px]
{1}
\right)^{
\bbox[#FFCC66,2px]
{0}
+1}}\;dz
\end{gather}
\]
o ponto
\( z-1=0\Rightarrow z=1 \)
está no interior da região determinada pelo contorno C, ele será usado no cálculo da
integral, temos
\( f(z)=\operatorname{e}^{\pi \mathrm{i}z} \),
z0 = 1 e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral
\[
\begin{gather}
\oint_{{C}}\frac{f(z)}{\left(z-z_{0}\right)^{n+1}}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{n!}\;f^{(n)}(z_{0})\\[5pt]
\oint_{|z|=2}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz=\frac{2\pi\mathrm{i}}{0!}\;f^{(0)}(1)\\[5pt]
\oint_{|z|=2}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}1}\\[5pt]
\oint_{|z|=2}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}}
\end{gather}
\]
Usando a Fórmula de Euler \( \operatorname{e}^{\mathrm{i}\theta }=\cos \theta+\mathrm{i}\operatorname{sen}\theta \).
\[
\begin{gather}
\oint_{{|z|=2}}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}}\\[5pt]
\oint_{|z|=2}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz=2\pi \mathrm{i}\;(\cos \pi+\text{i}\operatorname{sen}\pi )\\[5pt]
\oint_{|z|=2}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz=2\pi\mathrm{i}\;(-1+\mathrm{i}0)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\oint_{|z|=2}\frac{\operatorname{e}^{\pi\mathrm{i}z}}{z-1}\;dz=-2\pi\mathrm{i}}
\end{gather}
\]
Observação 1: O caminho percorrido
\( |\;z\;|=2 \)
é uma circunferência. Para um número complexo
\( z=x+\mathrm{i}y \),
o módulo é dado por
\( \sqrt{x^{2}+y^{2}\;}=2 \),
elevando ao quadrado os dois lados da igualdade
\( \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}\;}\right)^{2}=2^{2} \),
obtemos a equação de uma circunferência
\( (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=2^{2}, \)
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
\[ (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=2^{2} \]
com raio igual a 2 e centro na origem (0, 0).
Observação 2: f(0) representa o cálculo da função no ponto z0 sem derivada.
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