Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy

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Exercício Resolvido de Fórmula Integral de Cauchy

\oint_{| z | = 2} \frac{z}{z - 1} d z

O caminho é dado pela circunferência de raio 2 com centro na origem (0, 0), percorrida no sentido anti-horário (Figura 1).
A Integral de Cauchy na forma geral é dada por

\begin{matrix} (I) & f^{(n)} (z_{0}) = \frac{n!}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{{(z - z_{0})}^{n + 1}} d z \end{matrix}

Identificando os termos da integral

\begin{matrix} \frac{n!}{2 π i} \oint_{C} \frac{f (z)}{{(z - z_{0})}^{n + 1}} d z = \oint_{| z | = 2} \frac{z}{{(z - 1)}^{0 + 1}} d z \end{matrix}

o ponto

z - 1 = 0 \Rightarrow z = 1

está no interior da região determinada pelo contorno C, ele será usado no cálculo da integral, temos

f (z) = z

, z₀ = 1 e n = 0, escrevendo a expressão (I) para a integral

Figura 1

\begin{matrix} \oint_{C} \frac{f (z)}{{(z - z_{0})}^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n!} f^{(n)} (z_{0}) \\ \oint_{| z | = 2} \frac{z}{z - 1} d z = \frac{2 π i}{0!} f^{(0)} (1) \\ \oint_{| z | = 2} \frac{z}{z - 1} d z = 2 π i .1 \end{matrix}

\begin{matrix} \oint_{| z | = 2} \frac{z}{z - 1} d z = 2 π i \end{matrix}

Observação 1: O caminho percorrido

| z | = 2

é uma circunferência. Para um número complexo

z = x + i y

, o módulo é dado por

\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 2

, elevando ao quadrado os dois lados da igualdade

{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 2^{2}

, obtemos a equação de uma circunferência

(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 2^{2},

(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 2^{2}

com raio igual a 2 e centro na origem (0, 0).

Observação 2: f⁽⁰⁾ representa o cálculo da função no ponto z₀ sem derivada.

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