Exercício Resolvido de Contornos

\( \mathsf{b)}\;\; \displaystyle z=r(\cos t+i\operatorname{sen}t)\qquad ,\qquad -\frac{\pi }{4}\leqslant t\leqslant \pi \qquad ,\qquad r\gt 0 \)

A função z é uma função paramétrica do tipo

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {z(t)=x(t)+iy(t)} \]

Identificando as funções x(t) e y(t)

\[ \begin{align} & x(t)=r\cos t \tag{I}\\[10pt] & y(t)=r\operatorname{sen}t \tag{II} \end{align} \]

elevando as expressões (I) e (II) ao quadrado e somando as duas expressões

\[ \begin{gather} \frac{ \begin{matrix} x^{2}=r^{2}\cos^{2}t\\ y^{2}=r^{2}\operatorname{sen}^{2}t \end{matrix} } {x^{2}+y^{2}=r^{2}\cos^{2}t+r^{2}\operatorname{sen}^{2}t}\\[5pt] x^{2}+y^{2}=r^{2}\underbrace{\left(\cos^{2}t+\operatorname{sen}^{2}t\right)}_{1}\\[5pt] x^{2}+y^{2}=r^{2} \tag{III} \end{gather} \]

Gráfico 1

A função z(t) representa uma circunferência, para o intervalo dado temos um arco de cinrcunferência orientado de \( -{\frac{\pi}{4}} \) para π, (Gráfico 1).

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