Exercício Resolvido de Contornos

\( \mathsf{a)}\;\; \displaystyle z=3t+it^{2}\qquad ,\qquad -\infty \lt t \lt \infty \)

A função z é uma função paramétrica do tipo

\[ \bbox[#99CCFF,10px] {z(t)=x(t)+iy(t)} \]

Identificando as funções x(t) e y(t)

\[ \begin{align} & x(t)=3t \tag{I}\\[10pt] & y(t)=t^{2} \tag{II} \end{align} \]

usando a expressão (I)

\[ \begin{gather} t=\frac{x}{3} \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a expressão (III) na expressão (II)

\[ \begin{gather} y=\left(\frac{x}{3}\right)^{2}\\ y=\frac{x^{2}}{9} \end{gather} \]

Para t = −1, temos x = 3.(−1) = −3 e y = (−1)² = 1, para t = 0, temos x = 0 e y = 0² = 0, para t = 1, temos x = 3.1 = 3 e y = 1² = 1, e assim por diante.

Gráfico 1

A função z(t) representa uma parábola orientada de −∞ para +∞, (Gráfico 1).

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