Exercício Resolvido de Dinâmica
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Um pequeno bloco de massa m1 está apoiado sobre outro bloco maior de massa m2, e este, sobre um plano horizontal. O bloco 1 é puxado com uma força que forma um ângulo θ com a vertical, e o bloco 2 é puxado na horizontal, o coeficiente de atrito estático entre os blocos, e entre o bloco e o plano são iguais a μ. Determinar os valores mínimos das forças com que os blocos devem ser puxados para que o movimento comece.

Dados do problema:

  • Massa do corpo 1: m1;
  • Massa do corpo 2: m2;
  • Ângulo da força 1: θ;
  • Coeficiente de atrito entre os blocos: μ;
  • Coeficiente de atrito entre o bloco e o plano: μ.

Esquema do problema:

Isolamos os corpos e pesquisando as forças em cada um deles.

Bloco 1:

  • F1: força com que o bloco 1 é puxado;
  • Fat1: força de atrito entre o bloco 1 e o bloco 2 devido à força 1;
  • P1: força peso do bloco 1;
  • N1: reação do contato com o bloco 2.
Figura 1

Bloco 2:

  • F2: força com que o bloco 2 é puxado;
  • Fat2: força de atrito entre o bloco 2 e o plano;
  • Fat1: força de atrito entre o bloco 2 e o bloco 1;
  • P2: força peso do bloco 2;
  • N1: ação do bloco 1 no bloco 2,
  • N2: reação do contato com o plano.
Figura 2

Solução:

Como os blocos estão inicialmente em repouso temos a condição de que a somatória das forças que atuam sobre eles é zero

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum {\mathbf F}=0} \tag{I} \end{gather} \]

aplicando esta condição ao bloco 1 (Figura 1-B)

\[ \begin{gather} {\mathbf F}_1+{\mathbf F}_{at 1}+{\mathbf N}_1+{\mathbf P}_1=0 \end{gather} \]

onde

\( {\mathbf F}_1=F_1\operatorname{sen}\theta\;\mathbf i+F_1\cos\theta\;\mathbf j \qquad\text{(II)} \)
\( {\mathbf F}_{at 1}=-\mu N_1\;\mathbf i \)
\( {\mathbf N}_1=N_1\;\mathbf j \)
\( {\mathbf P}_1=-m_1g\;\mathbf j \)

assim

\[ \begin{gather} F_1\operatorname{sen}\theta\;\mathbf i+F_1\cos\theta\;\mathbf j-\mu N_1\;\mathbf i+N_1\;\mathbf j-m_1g\;\mathbf j=0 \tag{III} \end{gather} \]

Separando as componentes da equação (III)

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} F_1\operatorname{sen}\theta-\mu N_1=0 \\ F_1\cos\theta+N_1-m_1g=0 \end{array} \right. \tag{IV} \end{gather} \]

isolando o valor de N1 na segunda equação do sistema (IV) e substituindo na primeira equação

\[ \begin{gather} N_1=m_1g-F_1\cos\theta \\[10pt] F_1\operatorname{sen}\theta=\mu\left(m_1g-F_1\cos\theta\right) \\[5pt] F_1\operatorname{sen}\theta=\mu m_1g-\mu F_1\cos\theta \\[5pt] F_1\operatorname{sen}\theta+\mu F_1\cos\theta=\mu m_1g \\[5pt] F_1\left(\operatorname{sen}\theta+\mu\cos\theta\right)=\mu m_1g \\[5pt] F_1=\frac{\mu m_1g}{\operatorname{sen}\theta+\mu\cos\theta} \end{gather} \]

Substituindo este valor na expressão (II)) acima para o vetor F1, para que o movimento comece a força aplicada deve ser maior que

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {{\mathbf F}_1=\frac{\mu m_1g}{\operatorname{sen}\theta+\mu\cos\theta}\left(\operatorname{sen}\theta\;\mathbf i+\cos\theta\;\mathbf j\right)} \end{gather} \]

Substituindo o valor de F1 na segunda equação do sistema (IV) encontramos o valor da reação normal N1

\[ \begin{gather} \frac{\mu m_1g}{\operatorname{sen}\theta+\mu\cos\theta}\cos\theta+N_1-m_1g=0 \\[5pt] N_1=m_1g-\frac{\mu m_1g\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta+\mu\cos\theta} \\[5pt] N_1=m_1g-\frac{\mu m_1g\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta\left(1+\mu\dfrac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}\right)} \\[5pt] N_1=m_1g-\frac{\mu m_1g\operatorname{cotg}\theta}{1+\mu\operatorname{cotg}\theta} \tag{V} \end{gather} \]

Aplicando a condição (I) ao bloco 2 (Figura 2-B)

\[ \begin{gather} {\mathbf F}_2+{\mathbf F}_{at 2}+{\mathbf N}_2+{\mathbf P}_2+{\mathbf N}_1+{\mathbf F}_{at 1}=0 \end{gather} \]

onde

\( {\mathbf F}_2=-F_2\;\mathbf i \qquad\text{(VI)} \)
\( {\mathbf F}_{at 2}=\mu N_2\;\mathbf i \)
\( {\mathbf N}_1=-N_1\;\mathbf j \)
\( {\mathbf N}_2=N_2\;\mathbf j \)
\( {\mathbf P}_2=-m_2g\;\mathbf j \)
\( {\mathbf F}_{at 1}=\mu N_1\;\mathbf i \)

assim

\[ \begin{gather} -F_2\;\mathbf i+\mu N_2\;\mathbf i-N_1\;\mathbf j+N_2\;\mathbf j-m_2g\;\mathbf j+\mu N_1\;\mathbf i=0 \tag{VII} \end{gather} \]

Separando as componentes da equação (VII)

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} -F_2+\mu N_2+\mu N_1=0 \\ -N_1+N_2-m_2g=0 \end{array} \right. \tag{VIII} \end{gather} \]

isolando o valor de N2 na segunda equação do sistema (VIII) e substituindo na primeira equação

\[ \begin{gather} N_2=N_1+m_2g \\[10pt] -F_2+\mu\left(N_1+m_2g\right)+\mu N_1=0 \\[5pt] F_2=\mu N_1+\mu m_2g+\mu N_1 \\[5pt] F_2=2\mu N_1+\mu m_2g \tag{IX} \end{gather} \]

substituindo a expressão (V) na expressão (IX)

\[ \begin{gather} F_2=\mu\left[m_2g+2\left(m_1g-\frac{\mu m_1g\operatorname{cotg}\theta}{1+\mu\operatorname{cotg}\theta}\right)\right] \\[5pt] F_2=\mu\left[m_2g+2m_1g-2\frac{\mu m_1g\operatorname{cotg}\theta}{1+\mu\operatorname{cotg}\theta}\right] \end{gather} \]

Substituindo este valor na expressão (VI) acima para o vetor F2, para que o movimento comece a força aplicada deve ser maior que

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {{\mathbf F}_2=-\mu\left[\left(m_2+2m_1\right)g-2\frac{\mu m_1g\operatorname{cotg}\theta}{1+\mu\operatorname{cotg}\theta}\right]\;\mathbf i} \end{gather} \]
Observação: Veja que em particular se   \( \theta=\frac{\pi}{2} \)   as soluções para as forças F1 e F2 se reduzem a
\[ \begin{gather} \mathbf F_1=\frac{\mu m_1g}{\cancelto{1}{\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}}+\mu\cancelto{0}{\cos\frac{\pi}{2}}}\left(\cancelto{1}{\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}} \;\mathbf i+\cancelto{0}{\cos\frac{\pi}{2}}\;\mathbf j\right) \\[5pt] \mathbf F_1=\mu m_1g \;\mathbf i \end{gather} \]
que é a força de atrito, então a força F1 deve ser maior que esta para que o movimento comece.
\[ \begin{gather} \mathbf F_2=-\mu\left[\left(m_2+2m_1\right)g-2\frac{\mu m_1g \frac{\cancelto{0}{\cos\theta}}{\cancelto{1}{\operatorname{sen}\theta}} }{1+\mu\frac{\cancelto{0}{\cos\theta}}{\cancelto{1}{\operatorname{sen}\theta}}}\right]\;\mathbf i \\[5pt] \mathbf F_2=-\mu\left(m_2+2m_1\right)g \\[5pt] \mathbf F_2=-\mu\left(m_2+m_1+m_1\right)g \\[5pt] \mathbf F_2=-\mu\left(m_2+m_1\right)g+\mu m_1g \end{gather} \]
que é a força de atrito do sistema todo (m1+m2) sobre o solo e do atrtio entre os blocos (depende de m1), então a força F2 deve ser maior que esta para que o movimento comece.
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