Exercício Resolvido de Cinemática

Um móvel está sobre um plano-xy, inicialmente em repouso na posição x₀ sobre o eixo-x positivo. Ele começa a se movimentar com velocidades constantes v_x, no sentido da origem, e v_y no sentido do eixo-y positivo. Determinar depois de quanto tempo este móvel se encontrará a distância mínima da origem e, qual é essa distância mínima.

Dados do problema:

Posição inicial do móvel: x₀;
Velocidade do móvel na direção x: v_x;
Velocidade do móvel na direção y: v_y.

Esquema do problema:

Como as componentes da velocidade são constantes a trajetória será uma reta (Figura 1-A).

Figura 1

Ao longo da trajetória o móvel passa sucessivamente pelos pontos P₀, P₁, P₂, P_P, P₃ e assim por diante. O ponto de menor distância à origem será o ponto P_P, onde a reta que liga este ponto a origem é perpendicular a trajetória (Figura 1-B).

Solução

Sendo g a distância da origem ao ponto de menor distância, segmento \( \overline{OP_{P}} \), e h a distância do ponto inicial ao ponto de menor distância, segmento \( \overline{x_{0}P_{P}} \). Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ΔOP_Px₀ (em vermelho na Figura 2)

\[ \begin{gather} x_{0}^{2}=g^{2}+h^{2}\\ h^{2}=x_{0}^{2}-g^{2} \tag{I} \end{gather} \]

Figura 2

O ponto P_P tem coordenadas (x₁, y₁), a distância percorrida pelo móvel ao longo do eixo-x, desde x₀ até x₁, será

\[ \begin{gather} x_{0}-x_{1}=v_{x}t \tag{II} \end{gather} \]

A distância percorrida pelo móvel ao longo do eixo-y, desde O até y₁, será

\[ y_{1}-0=v_{y}t \]

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ao triângulo Δx₁P_Px₀ (em azul na Figura 3)

\[ \begin{gather} h^{2}=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2} \tag{III} \end{gather} \]

Figura 3

A distância da origem ao ponto x₁, segmento \( \overline{Ox_{1}} \), será obtido a partir da expressão (II)

\[ x_{1}=x_{0}-v_{x}t \]

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ΔOP_Px₁ (em azul na Figura 4)

\[ \begin{gather} g^{2}=\left(x_{0}-v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2} \tag{IV} \end{gather} \]

Figura 4

As equações (I), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas (g, h e t)

\[ \left\{ \begin{array}{l} \;h^{2}=x_{0}^{2}-g^{2}\\ \;h^{2}=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2}\\ \;g^{2}=\left(x_{0}-v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2} \end{array} \right. \]

substituindo a primeira equação na segunda no sistema

\[ \begin{gather} x_{0}^{2}-g^{2}=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2} \tag{V} \end{gather} \]

substituindo a terceira equação do sistema na expressão (V), obtemos o intervalo de tempo necessário para atingir a distância mínima

\[ \begin{gather} x_{0}^{2}-\left[\left(x_{0}-v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2}\right]=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2}\\[5pt] x_{0}^{2}-\left(x_{0}-v_{x}t\right)^{2}-\left(v_{y}t\right)^{2}=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2}\\[5pt] x_{0}^{2}-\left[x_{0}^{2}-2x_{0}v_{x}t+\left(v_{x}t\right)^{2}\right]=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2}\\[5pt] x_{0}^{2}-x_{0}^{2}+2x_{0}v_{x}t-\left(v_{x}t\right)^{2}=\left(v_{x}t\right)^{2}+2\left(v_{y}t\right)^{2}\\[5pt] 2x_{0}v_{x}t=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{x}t\right)^{2}+2\left(v_{y}t\right)^{2}\\[5pt] 2x_{0}v_{x}t=2\left(v_{x}t\right)^{2}+2\left(v_{y}t\right)^{2}\\[5pt] x_{0}v_{x}t=\left(v_{x}t\right)^{2}+\left(v_{y}t\right)^{2}\\[5pt] v_{x}^{2}t^{2}+v_{y}^{2}t^{2}=x_{0}v_{x}t\\[5pt] t^{2}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)=x_{0}v_{x}t\\[5pt] t\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)=x_{0}v_{x} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=\frac{x_{0}v_{x}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}} \]

Da expressão (V) obtemos a menor distância

\[ \begin{gather} g^{2}=x_{0}^{2}-v_{x}^{2}t^{2}-v_{y}^{2}t^{2}\\ g^{2}=x_{0}^{2}-t^{2}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right) \end{gather} \]

substituindo o valor do tempo encontrado acima

\[ \begin{gather} g^{2}=x_{0}^{2}-\left(\frac{x_{0}v_{x}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\right)^{2}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)\\[5pt] g^{2}=x_{0}^{2}-\frac{x_{0}^{2}v_{x}^{2}}{\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)^{2}}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)\\[5pt] g^{2}=x_{0}^{2}-\frac{x_{0}^{2}v_{x}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\\[5pt] g^{2}=\frac{x_{0}^{2}\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)-x_{0}^{2}v_{x}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\\[5pt] g^{2}=\frac{x_{0}^{2}v_{x}^{2}+x_{0}^{2}v_{y}^{2}-x_{0}^{2}v_{x}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\\[5pt] g^{2}=\frac{x_{0}^{2}v_{x}^{2}+x_{0}^{2}v_{y}^{2}-x_{0}^{2}v_{x}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\\[5pt] g^{2}=\frac{x_{0}^{2}v_{y}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\\[5pt] g=\sqrt{\frac{x_{0}^{2}v_{y}^{2}}{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\;} \end{gather} \]

\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {g=\frac{x_{0}v_{y}}{\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\;}} \]

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