a) Um circuito LC livre possui uma indutância L0 e uma capacitância
C0. Um outro circuito LC possui indutância L = nL0 e
capacitância C = nC0. Qual a razão das frequências das oscilações entre este
último e a frequência das oscilações do primeiro circuito?
b) Um circuito LC oscila com frequência f0, para uma indutância
L0 e uma capacitância C0. Mantendo o mesmo valor de
C0, substitui-se a bobina por outra de indutância L = nL0.
Determine a nova frequência de ressonância.
Solução:
a) Dados do problema:
| |
Circuito 1 |
Circuito 2 |
| Indutância |
L0 |
nL0 |
| Capacitância |
C0 |
nC0 |
Tabela 1
A frequência natural das oscilações de um circuito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC\;}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
escrevendo a equação (I) para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_{01}=\frac{1}{\sqrt{L_0C_0\;}} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{02}=\frac{1}{\sqrt{nL_0nC_0\;}} \\[5pt]
\omega_{02}=\frac{1}{\sqrt{n^2L_0C_0\;}} \\[5pt]
\omega_{02}=\frac{1}{n\sqrt{L_0C_0\;}} \tag{III}
\end{gather}
\]
Em um circuito LC a frequência angular de ressonância é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega=2\pi f} \tag{IV}
\end{gather}
\]
escrevendo a equação (IV) para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_1=2\pi f_0 \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_2=2\pi f \tag{VI}
\end{gather}
\]
dividindo a equação (VI) pela equação (V)
\[
\begin{gather}
\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{\cancel{2\pi} f}{\cancel{2\pi} f_0} \\[5pt]
\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{f}{f_0} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II) e (III) na equação (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{\frac{1}{n\sqrt{L_0C_0\;}}}{\frac{1}{\sqrt{L_0C_0\;}}}=\frac{f}{f_0} \\[5pt]
\frac{1}{n\cancel{\sqrt{L_0C_0\;}}}\frac{\cancel{\sqrt{L_0C_0\;}}}{1}=\frac{f}{f_0}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{f}{f_0}=\frac{1}{n}}
\end{gather}
\]
b) Dados
| |
Circuito 1 |
Circuito 2 |
| Indutância |
L0 |
nL0 |
| Capacitância |
C0 |
C0 |
| Frequência |
f0 |
x = f |
Tabela 2
Escrevendo a (I) equação para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_{01}=\frac{1}{\sqrt{L_0C_0\;}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{02}=\frac{1}{\sqrt{nL_0C_0\;}} \tag{IX}
\end{gather}
\]
escrevendo a equação (IV) para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_1=2\pi f_0 \tag{X}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_2=2\pi f \tag{XI}
\end{gather}
\]
dividindo a equação (XI) pela equação (X)
\[
\begin{gather}
\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{\cancel{2\pi} f}{\cancel{2\pi} f_0} \\[5pt]
\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{f}{f_0} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (VIII) e (IX) na equação (XII)
\[
\begin{gather}
\frac{\frac{1}{\sqrt{nL_0C_0\;}}}{\frac{1}{\sqrt{L_0C_0\;}}}=\frac{f}{f_0} \\[5pt]
\frac{1}{\sqrt{n\;}\cancel{\sqrt{L_0C_0\;}}}\frac{\cancel{\sqrt{L_0C_0\;}}}{1}=\frac{f}{f_0} \\[5pt]
\frac{1}{\sqrt{n\;}}=\frac{f}{f_0} \\[5pt]
f=f_0\frac{1}{\sqrt{n\;}} \\[5pt]
f=f_0\frac{1}{\sqrt{n\;}}\frac{\sqrt{n\;}}{\sqrt{n\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{f=f_0\frac{\sqrt{n\;}}{n}}
\end{gather}
\]
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