Exercício Resolvido de Circuitos RLC
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a) Um circuito LC livre possui uma indutância L0 e uma capacitância C0. Um outro circuito LC possui indutância L = nL0 e capacitância C = nC0. Qual a razão das frequências das oscilações entre este último e a frequência das oscilações do primeiro circuito?
b) Um circuito LC oscila com frequência f0, para uma indutância L0 e uma capacitância C0. Mantendo o mesmo valor de C0, substitui-se a bobina por outra de indutância L = nL0. Determine a nova frequência de ressonância.
Solução
a) Dados do problema:
| Circuito 1 | Circuito 2 | |
|---|---|---|
| Indutância | L0 | nL0 |
| Capacitância | C0 | nC0 |
Tabela 1
A frequência natural das oscilações de um circuito é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC\;}}} \tag{I}
\end{gather}
\]
escrevendo a expressão (I) para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_{01}=\frac{1}{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{02}=\frac{1}{\sqrt{nL_{0}nC_{0}\;}}\\[5pt]
\omega_{02}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}L_{0}C_{0}\;}}\\[5pt]
\omega_{02}=\frac{1}{n\sqrt{L_{0}C_{0}\;}} \tag{III}
\end{gather}
\]
Em um circuito LC a frequência angular de ressonância é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\omega =2\pi f} \tag{IV}
\end{gather}
\]
escrevendo a expressão (IV) para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_{1}=2\pi f_{0} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{2}=2\pi f \tag{VI}
\end{gather}
\]
dividindo a expressão (VI) pela expressão (V)
\[
\begin{gather}
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{\cancel{2\pi} f}{\cancel{2\pi} f_{0}}\\[5pt]
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{f}{f_{0}} \tag{VII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II) e (III) na expressão (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{\frac{1}{n\sqrt{L_{0}C_{0}\;}}}{\frac{1}{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}}}=\frac{f}{f_{0}}\\[5pt]
\frac{1}{n\cancel{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}}}\frac{\cancel{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}}}{1}=\frac{f}{f_{0}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{f}{f_{0}}=\frac{1}{n}}
\end{gather}
\]
b) Dados
| Circuito 1 | Circuito 2 | |
|---|---|---|
| Indutância | L0 | nL0 |
| Capacitância | C0 | C0 |
| Frequência | f0 | x = f |
Tabela 1
Escrevendo a (I) expressão para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_{01}=\frac{1}{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{02}=\frac{1}{\sqrt{nL_{0}C_{0}\;}} \tag{IX}
\end{gather}
\]
escrevendo a expressão (IV) para os dois circuitos
\[
\begin{gather}
\omega_{1}=2\pi f_{0} \tag{X}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\omega_{2}=2\pi f \tag{XI}
\end{gather}
\]
dividindo a expressão (XI) pela expressão (X)
\[
\begin{gather}
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{\cancel{2\pi} f}{\cancel{2\pi} f_{0}}\\[5pt]
\frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{f}{f_{0}} \tag{XII}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (VIII) e (IX) na expressão (XII)
\[
\begin{gather}
\frac{\frac{1}{\sqrt{nL_{0}C_{0}\;}}}{\frac{1}{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}}}=\frac{f}{f_{0}}\\[5pt]
\frac{1}{\sqrt{n\;}\cancel{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}}}\frac{\cancel{\sqrt{L_{0}C_{0}\;}}}{1}=\frac{f}{f_{0}}\\[5pt]
\frac{1}{\sqrt{n\;}}=\frac{f}{f_{0}}\\[5pt]
f=f_{0}\frac{1}{\sqrt{n\;}}\\[5pt]
f=f_{0}\frac{1}{\sqrt{n\;}}\frac{\sqrt{n\;}}{\sqrt{n\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{f=f_{0}\frac{\sqrt{n\;}}{n}}
\end{gather}
\]
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