Exercício Resolvido de Circuitos RLC
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Um circuito RLC em série é formado por um resitor de resistência R = 75 Ω, um
indutor com indutância L = 10 mH e um capacitor de capacitância C = 0,20 μF. A carga
inicial armazenada no capacitor é igual a q0 = 0,4 mC e a corrente é nula.
Determine:
a) A equação da carga em função do tempo;
b) Classifique o tipo de oscilações desse circuito;
c) O gráfico da carga q em função do tempo t.
a) A equação da carga em função do tempo;
b) Classifique o tipo de oscilações desse circuito;
c) O gráfico da carga q em função do tempo t.
Dados do problema:
- Capacitância: C = 0,20 μF;
- Resistência: R = 75 W;
- Indutância: L = 10 mH;
- Carga inicial armazenada no capacitor: q0 = 0,4 mC;
- Corrente inicial: I0 = 0.
A partir do instante inicial começa a circular uma corrente, a carga no capacitor diminui enquanto a
corrente no circuito aumenta, em cada elemento do circuito temos uma diferença de potencial (Figura 1).
Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema
\[
\begin{gather}
q(0)=q_{0}\\[10pt]
i_{0}=\frac{dq(0)}{dt}=0
\end{gather}
\]
Solução
a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^{n}V_{i}=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
entre os pontos C e D temos a d.d.p. no capacitor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
entre os pontos A e C temos a d.d.p. no resistor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{R}=Ri} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II), (III) e (IV) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
V_{L}+V_{R}+V_{C}=0\\[5pt]
L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
a corrente é a variação da carga no tempo
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{i=\frac{dq}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0\\[5pt]
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{75}{10.10^{-3}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{10.10^{-3}.0,20.10^{-6}}q=0\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{75}{10^{-2}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{2.10^{-9}}q=0\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+7,5.10^{3}\frac{dq}{dt}+5.10^{8}q=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
Solução de \( \displaystyle \frac{d^{2}q}{dt^{2}}+7,5.10^{3}\frac{dq}{dt}+5.10^{8}q=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
Derivando a expressão (VI) em relação ao tempo
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\frac{dq}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\;\lambda t}\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+7,5.10^{3}\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}+5.10^{8}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda ^{2}+7,5.10^{3}\lambda +5.10^{8}\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+7,5.10^{3}\lambda +5.10^{8}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda ^{2}+7,5.10^{3}\lambda +5.10^{8}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta=b^{2}-4ac=\left(7,5.10^{3}\right)^{2}-4.5.10^{8}=5,63.10^{7}-2,00.10^{9}=-1,94.10^{9}
\end{gather}
\]
para Δ<0 as raízes são complexas da forma a+bi, onde
\( \mathsf{i}=\sqrt{-1\;} \)
\[
\begin{gather}
\lambda =\frac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-7,5.10^{3}+\sqrt{-1,94.10^{9}\;}}{2.1}=-{\frac{-7,5.10^{3}\pm4,4.10^{4}\mathsf{i}}{2}}\\[5pt]
\lambda_{1}=-3,75.10^{3}+2,20.10^{4}\mathsf{i}\qquad \text{e}\qquad \lambda_{2}=-3,75.10^{3}-2,20.10^{4}\mathsf{i}
\end{gather}
\]
A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
q=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}+2,20.10^{4}\mathsf{i}\right)t}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}-2,20.10^{4}\mathsf{i}\right)t}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}t+2,20.10^{4}\mathsf{i}t\right)}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}t+2,20.10^{4}\mathsf{i}t\right)}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\operatorname{e}^{2,15.10^{4}\mathsf{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\operatorname{e}^{-2,15.10^{4}\mathsf{i}t}\\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(C_{1}\operatorname{e}^{2,20.10^{4}\mathsf{i}t}+C_{2}\operatorname{e}^{-2,20.10^{4}\mathsf{i}t}\right)
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{\mathsf{i}\theta }=\cos \theta +\mathsf{i}\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[C_{1}\left(\cos2,20.10^{4}t+\mathsf{i}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)+C_{2}\left(\cos2,20.10^{4}t-\mathsf{i}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\right]\\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(C_{1}\cos2,20.10^{4}t+\mathsf{i}C_{1}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t+C_{2}\cos2,20.10^{4}t-\mathsf{i}C_{2}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos2,20.10^{4}t+\mathsf{i}\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right]
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt]
\text{e}\\[5pt]
\beta \equiv \mathsf{i}(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(\alpha \cos 2,20.10^{4}t+\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right) \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde α e β são constantes determinadas pelas Condições Iniciais.
Derivando a expressão (VI) em relação ao tempo
\[
\begin{gather}
q=\underbrace{\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}}_{u}\underbrace{\left(\alpha\cos 2,20.10^{4}t+\beta \operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)}_{v}
\end{gather}
\]
usando a Regra do Produto para derivada de funções
\[
\begin{gather}
(uv)'=u'v+uv'
\end{gather}
\]
onde
\( u=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t} \)
e
\( v=\left(\alpha \cos 2,20.10^{4}t+\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right) \),
o termo entre parênteses é a soma de funções, a derivada da soma dada pela soma das derivadas
\[
\begin{gather}
(f+g)'=f'+g'
\end{gather}
\]
e as funções seno e cosseno entre parênteses são funções compostas, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{df[w(t)]}{dt}=\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( f=\alpha \cos w \),
\( g=\beta \operatorname{sen}w \)
e
\( w=2,20.10^{4}t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\left(\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt}\right)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\left(\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}+\frac{dg}{dw}\frac{dw}{dt}\right)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d(\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t})}{dt}\left(\alpha\cos 2,20.10^{4}t+\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)+\\
\qquad\qquad\qquad\qquad+(\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t})\left[\frac{d(\alpha\cos w)}{dw}\frac{d(2,20.10^{4}t)}{dt}+\frac{d(\beta\operatorname{sen}w)}{dw}\frac{d(2,20.10^{4}t)}{dt}\right]\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-3,75.10^{3}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(\alpha\cos 2,20.10^{4}t+\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)+\\
\qquad+\left(\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\right)\left[(-\alpha\operatorname{sen}2,20.10^{4})(2,20.10^{4})+(\beta \cos w)(2,20.10^{4})\right]\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[\left(-3,75.10^{3}\alpha\cos 2,20.10^{4}t-3,75.10^{3}\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\right.+\\
+\left.\left(-2,20.10^{4}\alpha\operatorname{sen}2,20.10^{4}t+2,20.10^{4}\beta \cos2,20.10^{4}t\right)\right]\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[\left(-3,75.10^{3}\alpha\cos 2,20.10^{4}t-2,20.10^{4}\alpha\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\right.+\\
+\left.\left(-3,75.10^{3}\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t+2,20.10^{4}\beta \cos2,20.10^{4}t\right)\right]\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[-\alpha\left(3,75.10^{3}\cos2,20.10^{4}t+2,20.10^{4}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\right.+\\
+\left.\beta\left(2,20.10^{4}\cos2,20.10^{4}t-3,75.10^{3}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\right] \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (VI) e (VII)
\[
\begin{gather}
x(0)=4.10^{-4}=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}.0}\left(\alpha\cos 2,20.10^{4}.0+\beta \operatorname{sen}2,20.10^{4}.0\right)\\[5pt]
\alpha=4.10^{-4} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx(0)}{dt}=0=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}.0}\left[-4.10^{-4}.\left(3,75.10^{3}\cos2,20.10^{4}.0+2,20.10^{4}\operatorname{sen}2,20.10^{4}.0\right)\right.+\\
+\left.\beta\left(2,20.10^{4}\cos2,19.0-3,75.10^{3}\operatorname{sen}2,20.10^{4}.0\right)\right] \qquad\qquad\quad \\[5pt]
0=-4.10^{-4}.\left(3,75.10^{3}.1+0\right)+\beta\left(2,20.10^{4}.1-0\right)\\[5pt]
1,50=2,20.10^{4}\beta \\[5pt]
\beta=\frac{1,50}{2,20.10^{4}}\\[5pt]
\beta =6.10^{-5} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes (VIII) e (IX) na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(4.10^{-4}\cos2,20.10^{4}t+6.10^{-5}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)
\end{gather}
\]
Equação da carga
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(4.10^{-4}\cos2,20.10^{4}t+6.10^{-5}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)}
\end{gather}
\]
b) Como Δ < 0 este é um circuito RLC amortecido subcrítico.
c) Construção do gráfico de
\[
\begin{gather}
q(t)=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(4.10^{-4}\cos2,20.10^{4}t+6.10^{-5}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)
\end{gather}
\]
A função q(t) é o produto de duas funções,
\( f(t)=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t} \)
e
\( g(t)=4.10^{-4}\cos 2,20.10^{4}t+6.10^{-5}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t \).
Para determinar as raízes fazemos q(t) = 0, como
q(t) = f(t)g(t) temos f(t) = 0 ou
g(t) = 0.
- Para g(t) = 0
\[
\begin{gather}
g(t)=4.10^{-4}\cos2,20.10^{4}t+6.10^{-5}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t=0\\[5pt]
6.10^{-5}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t=-4.10^{-4}\cos2,20.10^{4}t\\[5pt]
\frac{\operatorname{sen}2,20.10^{4}t}{\cos2,20.10^{4}t}=-{\frac{4.10^{-4}}{6.10^{-5}}}\\[5pt]
\operatorname{tg}2,20.10^{4}t=-6,67\\2,20.10^{4}t=\operatorname{arctg}(-6,67)\\[5pt]
t=\frac{1}{2,20.10^{4}}\left[-\operatorname{arctg}(6,67)+n\pi\right]\\[5pt]
t=\frac{1}{2,20.10^{4}}\left[-1,42+n\pi \right]
\end{gather}
\]
para esses valores de t temos as raízes da função g(t), os quatro primeiros valores
para n = 1, 2, 3 e 4, serão t = 0,78.10−4; 2,21.10−4;
3,64.10−4 e 5,07.10−4 (Gráfico 1).
- Para f(t) = 0
\[
\begin{gather}
f(t)=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade a função f(t) não cruza o eixo das
abscissas. Para qualquer valor de t real a função será sempre positiva, f(t) > 0.Derivando a expressão f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=-3,75.10^{3}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada será sempre negativa
\( \left(\frac{df(t)}{dt}<0\right) \)
e a função decresce sempre. Fazendo
\( \frac{df(t)}{dt}=0 \)
encontramos pontos de máximos e mínimos da função.
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=-3,75.10^{3}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=\frac{0}{-3,75.10^{3}}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de máximo ou mínimo da função.Derivando uma segunda vez a função f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=-3,75.10^{3}(-3,75.10^{3})\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=1,41.10^{7}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada segunda será sempre positiva
\( \left(\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}>0\right) \)
e a função possui concavidade voltada para cima. Fazendo
\( \frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}=0 \)
encontramos pontos de inflexão na função.
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=1,41.10^{7}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=\frac{0}{1,41.10^{7}}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de inflexão na função.Para t = 0 a expressão de f(0) será
\[
\begin{gather}
f(0)=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}.0}\\[5pt]
f(0)=\operatorname{e}^{-0}\\[5pt]
f(0)=1
\end{gather}
\]
Como a variável t representa o tempo não tem sentido o calculo de valores negativos,
t < 0, para t tendendo a infinito
\[
\begin{gather}
\lim_{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{t \rightarrow \infty}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{1}{\operatorname{e}^{3,75.10^{3}t}}}=\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{1}{\operatorname{e}^{\infty }}}=0
\end{gather}
\]
Da análise feita acima traçamos o gráfico de f em função de t (Gráfico 2).
Como q(t) = f(t)g(t) a combinação dos gráficos produz uma curva que oscila como a função cosseno amortecida pela exponencial (Gráfico 3).
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