Um circuito RLC em série é formado por um resitor de resistência R = 75 Ω, um
indutor com indutância L = 10 mH e um capacitor de capacitância C = 0,20 μF. A carga
inicial armazenada no capacitor é igual a q0 = 0,4 mC e a corrente é nula.
Determine:
a) A equação da carga em função do tempo;
b) Classifique o tipo de oscilações desse circuito;
c) O gráfico da carga q em função do tempo t.
Dados do problema:
- Capacitância: C = 0,20 μF;
- Resistência: R = 75 W;
- Indutância: L = 10 mH;
- Carga inicial armazenada no capacitor: q0 = 0,4 mC;
- Corrente inicial: I0 = 0.
Esquema do problema:
A partir do instante inicial começa a circular uma corrente, a carga no capacitor diminui enquanto a
corrente no circuito aumenta, em cada elemento do circuito temos uma diferença de potencial (Figura 1).
Com isto escrevemos as
Condições Iniciais do problema
\[
\begin{gather}
q(0)=q_0 \\[10pt]
i_0=\frac{dq(0)}{dt}=0
\end{gather}
\]
Solução:
a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^nV_i=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
entre os pontos C e D temos a d.d.p. no capacitor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
entre os pontos A e C temos a d.d.p. no resistor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small R}=Ri} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II), (III) e (IV) na equação (I)
\[
\begin{gather}
V_{\small L}+V_{\small R}+V_{\small C}=0 \\[5pt]
L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
a corrente é a variação da carga no tempo
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{i=\frac{dq}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0 \\[5pt]
L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{75}{10\times 10^{-3}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{10\times 10^{-3}\times 0,20\times 10^{-6}}q=0 \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{75}{10^{-2}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{2\times 10^{-9}}q=0 \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+7,5\times 10^3\frac{dq}{dt}+5\times 10^{8}q=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
Solução de
\( \displaystyle \frac{d^2q}{dt^2}+7,5\times 10^3\frac{dq}{dt}+5\times 10^{8}q=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{dq}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}=\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}+7,5\times 10^3\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}+5\times 10^{8}\operatorname{e}^{\lambda t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^2+7,5\times 10^3\lambda+5\times 10^{8}\right)=0 \\[5pt]
\lambda^2+7,5\times 10^3\lambda+5\times 10^{8}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}} \\[5pt]
\lambda^2+7,5\times 10^3\lambda+5\times 10^{8}=0
\end{gather}
\]
esta é a
Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=\left(7,5\times 10^3\right)^2-4\times 5\times 10^{8}=5,63\times 10^{7}-2,00\times 10^{9}=-1,94\times 10^{9}
\end{gather}
\]
para Δ<0 as raízes são complexas da forma
a+
b\mathsf i, onde
\( \mathsf i =\sqrt{-1\;} \)
\[
\begin{gather}
\lambda =\frac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-7,5\times 10^3+\sqrt{-1,94\times 10^{9}\;}}{2\times 1}=-{\frac{-7,5\times 10^3\pm4,4\times 10^4\mathsf i}{2}} \\[5pt]
\lambda_1=-3,75\times 10^3+2,20\times 10^4\mathsf i\qquad \text{e}\qquad \lambda_2=-3,75\times 10^3-2,20\times 10^4\mathsf i
\end{gather}
\]
A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
q=C_1\operatorname{e}^{\lambda_1t}+C_2\operatorname{e}^{\lambda_2t} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3+2,20\times 10^4\mathsf i \right)t}+C_2\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3-2,20\times 10^4\mathsf i \right)t} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3t+2,20\times 10^4\mathsf i t\right)}+C_2\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3t+2,20\times 10^4\mathsf i t\right)} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\operatorname{e}^{2,15\times 10^4\mathsf i t}+C_2\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\operatorname{e}^{-2,15\times 10^4\mathsf i t} \\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(C_1\operatorname{e}^{2,20\times 10^4\mathsf i t}+C_2\operatorname{e}^{-2,20\times 10^4\mathsf i t}\right)
\end{gather}
\]
onde
C1 e
C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{\mathsf i \theta}=\cos\theta+\mathsf i \operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[C_1\left(\cos2,20\times 10^4t+\mathsf i \operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)+C_2\left(\cos2,20\times 10^4t-\mathsf i\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)\right] \\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(C_1\cos2,20\times 10^4t+\mathsf i C_1\operatorname{sen}2,20\times 10^4t+C_2\cos2,20\times 10^4t-\mathsf i C_2\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right) \\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[\left(C_1+C_2\right)\cos2,20\times 10^4t+\mathsf i \left(C_1-C_2\right)\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right]
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes
α e
β em termos de
C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha\equiv C_1+C_2 \\[5pt]
\text{e} \\[5pt]
\beta\equiv\mathsf i (C_1-C_2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(\alpha \cos 2,20\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right) \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde
α e
β são constantes determinadas pelas
Condições Iniciais.
Derivando a equação (VI) em relação ao tempo
\[
\begin{gather}
q=\underbrace{\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}}_{u}\underbrace{\left(\alpha\cos 2,20\times 10^4t+\beta \operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)}_{v}
\end{gather}
\]
usando a
Regra do Produto para derivada de funções
\[
\begin{gather}
(uv)'=u'v+uv'
\end{gather}
\]
onde
\( u=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t} \)
e
\( v=\left(\alpha \cos 2,20\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right) \),
o termo entre parênteses é a soma de funções, a derivada da soma dada pela soma das derivadas
\[
\begin{gather}
(f+g)'=f'+g'
\end{gather}
\]
e as funções seno e cosseno entre parênteses são funções compostas, usando a
Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{df[w(t)]}{dt}=\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( f=\alpha \cos w \),
\( g=\beta \operatorname{sen}w \)
e
\( w=2,20\times 10^4t \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt} \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\left(\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt}\right) \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\left(\frac{df}{dw}\frac{dw}{dt}+\frac{dg}{dw}\frac{dw}{dt}\right) \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d(\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t})}{dt}\left(\alpha\cos 2,20\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)+ \\
\qquad\qquad\qquad\qquad+(\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t})\left[\frac{d(\alpha\cos w)}{dw}\frac{d(2,20\times 10^4t)}{dt}+\frac{d(\beta\operatorname{sen}w)}{dw}\frac{d(2,20\times 10^4t)}{dt}\right] \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-3,75\times 10^3\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(\alpha\cos 2,20\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)+ \\
\qquad+\left(\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\right)\left[(-\alpha\operatorname{sen}2,20\times 10^4)(2,20\times 10^4)+(\beta \cos w)(2,20\times 10^4)\right] \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[\left(-3,75\times 10^3\alpha\cos 2,20\times 10^4t-3,75\times 10^3\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)\right.+ \\
+\left.\left(-2,20\times 10^4\alpha\operatorname{sen}2,20\times 10^4t+2,20\times 10^4\beta \cos2,20\times 10^4t\right)\right] \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[\left(-3,75\times 10^3\alpha\cos 2,20\times 10^4t-2,20\times 10^4\alpha\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)\right.+ \\
+\left.\left(-3,75\times 10^3\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t+2,20\times 10^4\beta \cos2,20\times 10^4t\right)\right] \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[-\alpha\left(3,75\times 10^3\cos2,20\times 10^4t+2,20\times 10^4\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)\right.+ \\
+\left.\beta\left(2,20\times 10^4\cos2,20\times 10^4t-3,75\times 10^3\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)\right] \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as
Condições Iniciais nas equações (VI) e (VII)
\[
\begin{gather}
x(0)=4\times 10^{-4}=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3\times 0}\left(\alpha\cos 2,20\times 10^4\times 0+\beta \operatorname{sen}2,20\times 10^4\times 0\right) \\[5pt]
\alpha=4\times 10^{-4} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dx(0)}{dt}=0=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3\times 0}\left[-4\times 10^{-4}\times\left(3,75\times 10^3\cos2,20\times 10^4\times 0+2,20\times 10^4\operatorname{sen}2,20\times 10^4\times 0\right)\right.+ \\
+\left.\beta\left(2,20\times 10^4\cos2,19\times 0-3,75\times 10^3\operatorname{sen}2,20\times 10^4\times 0\right)\right] \qquad\qquad\quad \\[5pt]
0=-4\times 10^{-4}\times\left(3,75\times 10^3\times 1+0\right)+\beta\left(2,20\times 10^4\times 1-0\right) \\[5pt]
1,50=2,20\times 10^4\beta \\[5pt]
\beta=\frac{1,50}{2,20\times 10^4} \\[5pt]
\beta =6\times 10^{-5} \tag{IX}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes (VIII) e (IX) na equação (VI)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(4\times 10^{-4}\cos2,20\times 10^4t+6\times 10^{-5}\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)
\end{gather}
\]
Equação da carga
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(4\times 10^{-4}\cos2,20\times 10^4t+6\times 10^{-5}\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)}
\end{gather}
\]
b) Como Δ<0 este é um circuito RLC amortecido
subcrítico.
c) Construção do gráfico de
\[
\begin{gather}
q(t)=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(4\times 10^{-4}\cos2,20\times 10^4t+6\times 10^{-5}\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)
\end{gather}
\]
A função q(t) é o produto de duas funções,
\( f(t)=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t} \)
e
\( g(t)=4\times 10^{-4}\cos 2,20\times 10^4t+6\times 10^{-5}\operatorname{sen}2,20\times 10^4t \).
Para determinar as raízes fazemos q(t) = 0, como
q(t) = f(t)g(t) temos f(t) = 0 ou
g(t) = 0.
\[
\begin{gather}
g(t)=4\times 10^{-4}\cos2,20\times 10^4t+6\times 10^{-5}\operatorname{sen}2,20\times 10^4t=0 \\[5pt]
6\times 10^{-5}\operatorname{sen}2,20\times 10^4t=-4\times 10^{-4}\cos2,20\times 10^4t \\[5pt]
\frac{\operatorname{sen}2,20\times 10^4t}{\cos2,20\times 10^4t}=-{\frac{4\times 10^{-4}}{6\times 10^{-5}}} \\[5pt]
\operatorname{tg}2,20\times 10^4t=-6,67 \\2,20\times 10^4t=\operatorname{arctg}(-6,67) \\[5pt]
t=\frac{1}{2,20\times 10^4}\left[-\operatorname{arctg}(6,67)+n\pi\right] \\[5pt]
t=\frac{1}{2,20\times 10^4}\left[-1,42+n\pi \right]
\end{gather}
\]
para esses valores de t temos as raízes da função g(t), os quatro primeiros valores
para n = 1, 2, 3 e 4, serão t = 0,78×10−4; 2,21×10−4;
3,64×10−4 e 5,07×10−4 (Gráfico 1).
\[
\begin{gather}
f(t)=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade a função f(t) não cruza o eixo das
abscissas. Para qualquer valor de t real a função será sempre positiva, f(t) > 0.
Derivando a equação f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=-3,75\times 10^3\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada será sempre negativa
\( \left(\frac{df(t)}{dt}<0\right) \)
e a função decresce sempre. Fazendo
\( \frac{df(t)}{dt}=0 \)
encontramos pontos de máximos e mínimos da função.
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=-3,75\times 10^3\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=\frac{0}{-3,75\times 10^3} \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de máximo ou mínimo da função.
Derivando uma segunda vez a função f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{d^2f}{dt^2}=-3,75\times 10^3(-3,75\times 10^3)\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t} \\[5pt]
\frac{d^2f}{dt^2}=1,41\times 10^{7}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada segunda será sempre positiva
\( \left(\frac{d^2f(t)}{dt^2}>0\right) \)
e a função possui concavidade voltada para cima. Fazendo
\( \frac{d^2f(t)}{dt^2}=0 \)
encontramos pontos de inflexão na função.
\[
\begin{gather}
\frac{d^2f}{dt^2}=1,41\times 10^{7}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=\frac{0}{1,41\times 10^{7}} \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de inflexão na função.
Para t = 0 a equação de f(0) será
\[
\begin{gather}
f(0)=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3\times 0} \\[5pt]
f(0)=\operatorname{e}^{-0} \\[5pt]
f(0)=1
\end{gather}
\]
Como a variável t representa o tempo não tem sentido o calculo de valores negativos,
t < 0, para t tendendo a infinito
\[
\begin{gather}
\lim_{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim _{t \rightarrow \infty}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{1}{\operatorname{e}^{3,75\times 10^3t}}}=\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{1}{\operatorname{e}^{\infty }}}=0
\end{gather}
\]
Da análise feita acima traçamos o gráfico de f em função de t (Gráfico 2).
Como q(t) = f(t)g(t) a combinação dos gráficos produz uma curva
que oscila como a função cosseno amortecida pela exponencial (Gráfico 3).
EN
