Um circuito RLC em série é formado por um resitor de resistência R = 75 Ω, um
indutor com indutância L = 10 mH e um capacitor de capacitância C = 0,20 μF. A carga
inicial armazenada no capacitor é igual a q0 = 0,4 mC e a corrente é nula.
Determine:
a) A equação da carga em função do tempo;
b) Classifique o tipo de oscilações desse circuito;
c) O gráfico da carga q em função do tempo t.
Dados do problema:
- Capacitância: C = 0,20 μF;
- Resistência: R = 75 W;
- Indutância: L = 10 mH;
- Carga inicial armazenada no capacitor: q0 = 0,4 mC;
- Corrente inicial: I0 = 0.
Esquema do problema:
A partir do instante inicial começa a circular uma corrente, a carga no capacitor diminui enquanto a
corrente no circuito aumenta, em cada elemento do circuito temos uma diferença de potencial (Figura 1).
Com isto escrevemos as
Condições Iniciais do problema
\[
\begin{gather}
q(0)=q_0 \\[10pt]
i_0=\frac{dq(0)}{dt}=0
\end{gather}
\]
Solução:
a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^nV_i=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
entre os pontos C e D temos a d.d.p. no capacitor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
entre os pontos A e C temos a d.d.p. no resistor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{\small R}=Ri} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as equações (II), (III) e (IV) na equação (I)
\[
\begin{gather}
V_{\small L}+V_{\small R}+V_{\small C}=0 \\[5pt]
L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
a corrente é a variação da carga no tempo
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{i=\frac{dq}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0 \\[5pt]
L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{75}{10\times 10^{-3}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{10\times 10^{-3}\times 0,20\times 10^{-6}}q=0 \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+\frac{75}{10^{-2}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{2\times 10^{-9}}q=0 \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}+7,5\times 10^3\frac{dq}{dt}+5\times 10^{8}q=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
Solução de
\( \displaystyle \frac{d^2q}{dt^2}+7,5\times 10^3\frac{dq}{dt}+5\times 10^{8}q=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{dq}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\lambda t} \\[5pt]
\frac{d^2q}{dt^2}=\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^2\operatorname{e}^{\lambda t}+7,5\times 10^3\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}+5\times 10^{8}\operatorname{e}^{\lambda t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda^2+7,5\times 10^3\lambda+5\times 10^{8}\right)=0 \\[5pt]
\lambda^2+7,5\times 10^3\lambda+5\times 10^{8}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}} \\[5pt]
\lambda^2+7,5\times 10^3\lambda+5\times 10^{8}=0
\end{gather}
\]
esta é a
Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta=b^2-4ac=\left(7,5\times 10^3\right)^2-4\times 5\times 10^{8}=5,63\times 10^{7}-2,00\times 10^{9}=-1,94\times 10^{9}
\end{gather}
\]
para Δ<0 as raízes são complexas da forma
a+
bi, onde
\( \mathsf i =\sqrt{-1\;} \)
\[
\begin{gather}
\lambda =\frac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-7,5\times 10^3+\sqrt{-1,94\times 10^{9}\;}}{2\times 1}=-{\frac{-7,5\times 10^3\pm4,4\times 10^4\mathsf i}{2}} \\[5pt]
\lambda_1=-3,75\times 10^3+2,20\times 10^4\mathsf i\qquad \text{e}\qquad \lambda_2=-3,75\times 10^3-2,20\times 10^4\mathsf i
\end{gather}
\]
A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
q=C_1\operatorname{e}^{\lambda_1t}+C_2\operatorname{e}^{\lambda_2t} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3+2,20\times 10^4\mathsf i \right)t}+C_2\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3-2,20\times 10^4\mathsf i \right)t} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3t+2,20\times 10^4\mathsf i t\right)}+C_2\operatorname{e}^{\left(-3,75\times 10^3t+2,20\times 10^4\mathsf i t\right)} \\[5pt]
q=C_1\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\operatorname{e}^{2,15\times 10^4\mathsf i t}+C_2\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\operatorname{e}^{-2,15\times 10^4\mathsf i t} \\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(C_1\operatorname{e}^{2,20\times 10^4\mathsf i t}+C_2\operatorname{e}^{-2,20\times 10^4\mathsf i t}\right)
\end{gather}
\]
onde
C1 e
C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{\mathsf i \theta}=\cos\theta+\mathsf i \operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[C_1\left(\cos2,20\times 10^4t+\mathsf i \operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)+C_2\left(\cos2,20\times 10^4t-\mathsf i \operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)\right] \\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(C_1\cos2,20\times 10^4t+\mathsf i C_1\operatorname{sen}2,20\times 10^4t+C_2\cos2,20\times 10^4t-\mathsf i C_2\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right) \\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[\left(C_1+C_2\right)\cos2,20\times 10^4t+\mathsf i \left(C_1-C_2\right)\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right]
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes
α e
β em termos de
C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha\equiv C_1+C_2 \\[5pt]
\text{e} \\[5pt]
\beta\equiv \mathsf i (C_1-C_2)
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(\alpha\cos 2,20\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta equação por
\( \sqrt{\alpha^2+\beta^2\;} \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(\alpha\cos2,20\times 10^4t+\beta\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)\times \frac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}} \\[5pt]
q=\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\cos 2,20\times 10^4t+\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{gather}
A\equiv\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;} \\[5pt]
\cos\varphi\equiv\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^2+\beta{2}\;}} \\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi\equiv\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left(\cos\varphi\cos2,20\times 10^4t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}2,20\times 10^4t\right)
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \cos(a+b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \).
\[
\begin{gather}
q(t)=A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\cos \left(2,20\times 10^4t-\varphi\right) \tag{VI}
\end{gather}
\]
onde
A e
φ são constantes determinadas pelas
Condições Iniciais.
Derivando a equação (VI) em relação ao tempo
\[
\begin{gather}
q=\underbrace{A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}}_{u}\underbrace{\cos(2,20\times 10^4t-\varphi)}_{v}
\end{gather}
\]
usando a
Regra do Produto para derivada de funções
\[
\begin{gather}
(uv)'=u'v+uv'
\end{gather}
\]
onde
\( u=A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t} \)
e
\( v=\cos(2,20\times 10^4t-\varphi) \),
a função
v é uma função composta, usando a
Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[w(t)]}{dt}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( v=\cos w \)
e
\( w=2,20\times 10^4t-\varphi\)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt} \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt} \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d\left(A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\right)}{dt}\left[\cos(2,20\times 10^4t-\varphi)\right]+\left(A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\right)\frac{d\left(\cos w\right)}{dw}\frac{d\left(2,20\times 10^4t-\varphi\right)}{dt} \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-3,75\times 10^3\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\cos(2,20\times 10^4t-\varphi)+\left(A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\right)\left(-\operatorname{sen}w\right)\left(2,20\times 10^4\right) \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-3,75\times 10^3A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\cos(2,20\times 10^4t-\varphi)-2,20\times 10^4A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\operatorname{sen}(2,20\times 10^4t-\varphi) \\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\left[3,75\times 10^3\cos(2,20\times 10^4t-\varphi)+2,20\times 10^4\operatorname{sen}(2,20\times 10^4t-\varphi)\right] \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as
Condições Iniciais nas equações (VI) e (VII)
\[
\begin{gather}
q(0)=4\times 10^{-4}=A\operatorname{e}^{-\gamma \times 0}\cos(\omega \times 0-\varphi) \\[5pt]
4\times 10^{-4}=A\cos(-\varphi)
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos(-\varphi)=\cos\varphi\)
\[
\begin{gather}
4\times 10^{-4}=A\cos\varphi \\[5pt]
A=\frac{4\times 10^{-4}}{\cos\varphi} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dq(0)}{dt}=0=-A\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3\times 0}\left[3,75\times 10^3\cos(2,20\times 10^4\times 0-\varphi)+2,20\times 10^4\operatorname{sen}(2,20\times 10^4\times 0-\varphi)\right] \\[5pt]
0=-A\times 1\left[3,75\times 10^3\cos(0-\varphi)+2,20\times 10^4\operatorname{sen}(0-\varphi)\right] \\[5pt]
0=-A\left[3,75\times 10^3\cos(-\varphi)+2,20\times 10^4\operatorname{sen}(-\varphi)\right]
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}(-\varphi)=-\operatorname{sen}\varphi \)
\[
\begin{gather}
0=-3,75\times 10^3A\cos\varphi +2,20\times 10^4A\operatorname{sen}\varphi \tag{IX}
\end{gather}
\]
e substituindo a equação (VIII) na equação (IX)
\[
\begin{gather}
0=-{\frac{4\times 10^{-4}}{\cos\varphi}}3,75\times 10^3\cos\varphi +\frac{4\times 10^{-4}}{\cos\varphi}2,20\times 10^4\operatorname{sen}\varphi \\[5pt]
-3,75\times 10^3\times 4\times 10^{-4}+2,20\times 10^4\times 4\times 10^{-4}\operatorname{tg}\varphi=0 \\[5pt]
2,20\times \times 10^4\times 4\times 10^{-4}\operatorname{tg}\varphi=3,75\times 10^34\times 10^{-4} \\[5pt]
2,20\times 10^4\operatorname{tg}\varphi=3,75\times 10^3 \\[5pt]
\operatorname{tg}\varphi=\frac{3,75\times 10^3}{2,20\times 10^4} \\[5pt]
\varphi=\operatorname{arctg}\left(0,17\right) \\[5pt]
\varphi\simeq 0,17
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de
φ na equação (VIII)
\[
\begin{gather}
A=\frac{4\times 10^{-4}}{\cos0,17} \\[5pt]
A=\frac{4\times 10^{-4}}{0,99} \\[5pt]
A\simeq 4\times 10^{-4}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes
A e
φ na equação (VI)
\[
\begin{gather}
q=4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\cos\left(2,20\times 10^4t-0,17\right)
\end{gather}
\]
Equação da carga
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\cos\left(2,20\times 10^4t-0,17\right)}
\end{gather}
\]
b) Como Δ<0 este é um circuito RLC amortecido
subcrítico.
c) Construção do gráfico de
\[
\begin{gather}
q(t)=4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}\cos\left(2,20\times 10^4t-0,17\right)
\end{gather}
\]
A função q(t) é o produto de duas funções,
\( f(t)=4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t} \)
e
\( g(t)=\cos(2,20\times 10^4t-0,17) \).
Para determinar as raízes fazemos q(t) = 0, como
q(t) = f(t)g(t) temos f(t) = 0 ou
g(t) = 0.
\[
\begin{gather}
g(t)=\cos(2,20\times 10^4t-0,17)=0
\end{gather}
\]
a função cosseno é igual a zero quando seu argumento
\( 2,20\times 10^4t-0,17 \)
é igual a
\( \frac{\pi}{2} \),
\( \frac{3\pi}{2} \),
\( \frac{5\pi}{2} \),...,
\( \frac{(2n+1)\pi}{2} \),
com n = 0, 1, 2, 3,...,
\[
\begin{gather}
2,20\times 10^4t-0,17=\frac{(2n+1)\pi}{2} \\[5pt]
\frac{220\times 10^4}{100}t-\frac{17}{100}=\frac{(2n+1)\pi}{2} \\[5pt]
\frac{220\times 10^4}{100}t-\frac{17}{100}=\frac{(2n+1)\pi}{2}\times \frac{50}{50} \\[5pt]
\frac{220\times 10^4}{100}t-\frac{17}{100}=50\frac{(2n+1)\pi}{100} \\[5pt]
220\times 10^4t-17=50(2n+1)\pi \\[5pt]
t=\frac{50}{220\times 10^4}(2n+1)\pi+\frac{17}{220\times 10^4} \\[5pt]
t=\frac{1}{220\times 10^4}\left[50(2n+1)\pi+17\right]
\end{gather}
\]
para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores para n =
0, 1, 2 e 3 serão t = 0,79×10−4; 2,22×10−4;
3,65×10−4 e 5,08×10−4 (Gráfico 1).
\[
\begin{gather}
f(t)=4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=\frac{0}{4\times 10^{-4}} \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade a função f(t) não cruza o eixo das
abscissas. Para qualquer valor de t real a função será sempre positiva,
f(t) > 0.
Derivando a equação f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=4\times 10^{-4}(-3,75\times 10^3)\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t} \\[5pt]
\frac{df}{dt}=-0,15\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada será sempre negativa
\( \left(\frac{df(t)}{dt}<0\right) \)
e a função decresce sempre. Fazendo
\( \frac{df(t)}{dt}=0 \)
encontramos pontos de máximos e mínimos da função.
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=-0,15\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=\frac{0}{-0,15} \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de máximo ou mínimo da função.
Derivando uma segunda vez a função f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{d^2f}{dt^2}=-0,15(-3,75\times 10^3)\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t} \\[5pt]
\frac{d^2f}{dt^2}=5,63\times 10^2\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada segunda será sempre positiva
\( \left(\frac{d^2f(t)}{dt^2}>0\right) \)
e a função possui concavidade voltada para cima. Fazendo
\( \frac{d^2f(t)}{dt^2}=0 \)
encontramos pontos de inflexão na função.
\[
\begin{gather}
\frac{d^2f}{dt^2}=5,63\times 10^2\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0 \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=\frac{0}{5,63\times 10^2} \\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de inflexão na função.
Para t = 0 o valor f(0) será
\[
\begin{gather}
f(0)=4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3\times 0} \\[5pt]
f(0)=4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-0} \\[5pt]
f(0)=4\times 10^{-4}\times 1\\
f(0)=4\times 10^{-4}
\end{gather}
\]
Como a variável t representa o tempo não tem sentido o cálculo de valores negativos,
t < 0, para t tendendo a infinito
\[
\begin{gather}
\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim_{t\rightarrow\infty}4\times 10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75\times 10^3t}=\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{4\times 10^{-4}}{\operatorname{e}^{3,75\times 10^3t}}}=\lim_{t\rightarrow \infty }{\frac{4\times 10^{-4}}{\operatorname{e}^{\infty}}}=0
\end{gather}
\]
Da análise feita acima traçamos o gráfico de f em função de t (Gráfico 2).
Como q(t) = f(t)g(t) a combinação dos gráficos produz uma curva
que oscila como a função cosseno amortecida pela exponencial (Gráfico 3).
EN
