Exercício Resolvido de Circuitos RLC
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Um circuito RLC em série é formado por um resitor de resistência R = 75 Ω, um
indutor com indutância L = 10 mH e um capacitor de capacitância C = 0,20 μF. A carga
inicial armazenada no capacitor é igual a q0 = 0,4 mC e a corrente é nula.
Determine:
a) A equação da carga em função do tempo;
b) Classifique o tipo de oscilações desse circuito;
c) O gráfico da carga q em função do tempo t.
a) A equação da carga em função do tempo;
b) Classifique o tipo de oscilações desse circuito;
c) O gráfico da carga q em função do tempo t.
Dados do problema:
- Capacitância: C = 0,20 μF;
- Resistência: R = 75 W;
- Indutância: L = 10 mH;
- Carga inicial armazenada no capacitor: q0 = 0,4 mC;
- Corrente inicial: I0 = 0.
A partir do instante inicial começa a circular uma corrente, a carga no capacitor diminui enquanto a
corrente no circuito aumenta, em cada elemento do circuito temos uma diferença de potencial (Figura 1).
Com isto escrevemos as Condições Iniciais do problema
\[
\begin{gather}
q(0)=q_{0}\\[10pt]
i_{0}=\frac{dq(0)}{dt}=0
\end{gather}
\]
Solução
a) Aplicando a Lei das Malhas de Kirchhoff (Figura 1)
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\sum_{i=1}^{n}V_{i}=0} \tag{I}
\end{gather}
\]
Entre os pontos A e B temos uma d.d.p. no indutor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{L}=L\frac{di}{dt}} \tag{II}
\end{gather}
\]
entre os pontos C e D temos a d.d.p. no capacitor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{C}=\frac{q}{C}} \tag{III}
\end{gather}
\]
entre os pontos A e C temos a d.d.p. no resistor dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V_{R}=Ri} \tag{IV}
\end{gather}
\]
substituindo as expressões (II), (III) e (IV) na expressão (I)
\[
\begin{gather}
V_{L}+V_{R}+V_{C}=0\\[5pt]
L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
a corrente é a variação da carga no tempo
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{i=\frac{dq}{dt}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
L\frac{d}{dt}\left(\frac{dq}{dt}\right)+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0\\[5pt]
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0
\end{gather}
\]
esta é uma Equação Diferencial Ordinária Homogênea de 2.ª Ordem. Dividindo toda a equação pela
indutância L
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0
\end{gather}
\]
substituindo os valores dados no problema
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{75}{10.10^{-3}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{10.10^{-3}.0,20.10^{-6}}q=0\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{75}{10^{-2}}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{2.10^{-9}}q=0\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+7,5.10^{3}\frac{dq}{dt}+5.10^{8}q=0 \tag{V}
\end{gather}
\]
Solução de \( \displaystyle \frac{d^{2}q}{dt^{2}}+7,5.10^{3}\frac{dq}{dt}+5.10^{8}q=0 \)
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
Derivando a expressão (VI) em relação ao tempo
A solução deste tipo de equação é encontrada fazendo-se as substituições
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{\lambda t}\\[5pt]
\frac{dq}{dt}=\lambda \operatorname{e}^{\;\lambda t}\\[5pt]
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}=\lambda ^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}
\end{gather}
\]
substituindo estes valores na equação diferencial
\[
\begin{gather}
\lambda^{2}\operatorname{e}^{\lambda t}+7,5.10^{3}\lambda \operatorname{e}^{\lambda t}+5.10^{8}\operatorname{e}^{\lambda t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{\lambda t}\left(\lambda ^{2}+7,5.10^{3}\lambda +5.10^{8}\right)=0\\[5pt]
\lambda^{2}+7,5.10^{3}\lambda +5.10^{8}=\frac{0}{\operatorname{e}^{\lambda t}}\\[5pt]
\lambda ^{2}+7,5.10^{3}\lambda +5.10^{8}=0
\end{gather}
\]
esta é a Equação Característica que tem como solução
\[
\begin{gather}
\Delta=b^{2}-4ac=\left(7,5.10^{3}\right)^{2}-4.5.10^{8}=5,63.10^{7}-2,00.10^{9}=-1,94.10^{9}
\end{gather}
\]
para Δ<0 as raízes são complexas da forma a+bi, onde
\( i=\sqrt{-1\;} \)
\[
\begin{gather}
\lambda =\frac{-b+\sqrt{\Delta\;}}{2a}=\frac{-7,5.10^{3}+\sqrt{-1,94.10^{9}\;}}{2.1}=-{\frac{-7,5.10^{3}\pm4,4.10^{4}i}{2}}\\[5pt]
\lambda_{1}=-3,75.10^{3}+2,20.10^{4}i\qquad \text{e}\qquad \lambda_{2}=-3,75.10^{3}-2,20.10^{4}i
\end{gather}
\]
A solução da equação diferencial será
\[
\begin{gather}
q=C_{1}\operatorname{e}^{\lambda_{1}t}+C_{2}\operatorname{e}^{\lambda_{2}t}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}+2,20.10^{4}i\right)t}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}-2,20.10^{4}i\right)t}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}t+2,20.10^{4}it\right)}+C_{2}\operatorname{e}^{\left(-3,75.10^{3}t+2,20.10^{4}it\right)}\\[5pt]
q=C_{1}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\operatorname{e}^{2,15.10^{4}i\;t}+C_{2}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\operatorname{e}^{-2,15.10^{4}it}\\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(C_{1}\operatorname{e}^{2,20.10^{4}it}+C_{2}\operatorname{e}^{-2,20.10^{4}it}\right)
\end{gather}
\]
onde C1 e C2 são constantes de integração, usando a
Fórmula de Euler
\( \operatorname{e}^{i\theta }=\cos \theta +i\operatorname{sen}\theta \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[C_{1}\left(\cos2,20.10^{4}t+i\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)+C_{2}\left(\cos2,20.10^{4}t-i\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\right]\\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(C_{1}\cos2,20.10^{4}t+iC_{1}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t+C_{2}\cos2,20.10^{4}t-iC_{2}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)\\[5pt]
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[\left(C_{1}+C_{2}\right)\cos2,20.10^{4}t+i\left(C_{1}-C_{2}\right)\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right]
\end{gather}
\]
definindo duas novas constantes α e β em termos de C1 e
C2
\[
\begin{gather}
\alpha \equiv C_{1}+C_{2}\\[5pt]
\text{e}\\[5pt]
\beta \equiv i(C_{1}-C_{2})
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(\alpha \cos 2,20.10^{4}t+\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)
\end{gather}
\]
multiplicando e dividindo esta expressão por
\( \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;} \)
\[
\begin{gather}
q=\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(\alpha \cos2,20.10^{4}t+\beta\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right).\frac{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\\[5pt]
q=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\cos 2,20.10^{4}t+\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)
\end{gather}
\]
fazendo as seguintes definições
\[
\begin{gather}
A\equiv \sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}\\[5pt]
\cos\varphi \equiv \frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta{2}\;}}\\[5pt]
\operatorname{sen}\varphi \equiv \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}\;}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
q=A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left(\cos \varphi \cos2,20.10^{4}t+\operatorname{sen}\varphi\operatorname{sen}2,20.10^{4}t\right)
\end{gather}
\]
Lembrando da identidade trigonométrica
\( \cos(a+b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b \).
\[
\begin{gather}
q(t)=A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\cos \left(2,20.10^{4}t-\varphi\right)\tag{VI}
\end{gather}
\]
onde A e φ são constantes determinadas pelas Condições Iniciais.
Derivando a expressão (VI) em relação ao tempo
\[
\begin{gather}
q=\underbrace{A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}}_{u}\underbrace{\cos(2,20.10^{4}t-\varphi)}_{v}
\end{gather}
\]
usando a Regra do Produto para derivada de funções
\[
\begin{gather}
(uv)'=u'v+uv'
\end{gather}
\]
onde
\( u=A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t} \)
e
\( v=\cos (2,20.10^{4}t-\varphi) \),
a função v é uma função composta, usando a Regra da Cadeia
\[
\begin{gather}
\frac{dv[w(t)]}{dt}=\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt}
\end{gather}
\]
com
\( v=\cos w \)
e
\( w=2,20.10^{4}t-\varphi \)
\[
\begin{gather}
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}v+u\frac{dv}{dw}\frac{dw}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=\frac{d\left(A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\right)}{dt}\left[\cos(2,20.10^{4}t-\varphi)\right]+\left(A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\right)\frac{d\left(\cos w\right)}{dw}\frac{d\left(2,20.10^{4}t-\varphi\right)}{dt}\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-3,75.10^{3}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\cos(2,20.10^{4}t-\varphi)+\left(A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\right)\left(-\operatorname{sen}w\right)\left(2,20.10^{4}\right)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-3,75.10^{3}A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\cos(2,20.10^{4}t-\varphi)-2,20.10^{4}A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\operatorname{sen}(2,20.10^{4}t-\varphi)\\[5pt]
\frac{dx}{dt}=-A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\left[3,75.10^{3}\cos(2,20.10^{4}t-\varphi)+2,20.10^{4}\operatorname{sen}(2,20.10^{4}t-\varphi)\right] \tag{VII}
\end{gather}
\]
Substituindo as Condições Iniciais nas expressões (VI) e (VII)
\[
\begin{gather}
q(0)=4.10^{-4}=A\operatorname{e}^{-\gamma .0}\cos(\omega .0-\varphi)\\
4.10^{-4}=A\cos (-\varphi)
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par temos
\( \cos (-\varphi)=\cos \varphi \)
\[
\begin{gather}
4.10^{-4}=A\cos \varphi \\[5pt]
A=\frac{4.10^{-4}}{\cos\varphi} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{dq(0)}{dt}=0=-A\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}.0}\left[3,75.10^{3}\cos(2,20.10^{4}.0-\varphi)+2,20.10^{4}\operatorname{sen}(2,20.10^{4}.0-\varphi)\right]\\[5pt]
0=-A.1\left[3,75.10^{3}\cos (0-\varphi)+2,20.10^{4}\operatorname{sen}(0-\varphi)\right]\\[5pt]
0=-A\left[3,75.10^{3}\cos (-\varphi)+2,20.10^{4}\operatorname{sen}(-\varphi)\right]
\end{gather}
\]
como o cosseno é uma função par e seno é uma função ímpar
\( \operatorname{sen}(-\varphi)=-\operatorname{sen}\varphi \)
\[
\begin{gather}
0=-3,75.10^{3}A\cos \varphi +2,20.10^{4}A\operatorname{sen}\varphi \tag{IX}
\end{gather}
\]
e substituindo a expressão (VIII) na expressão (IX)
\[
\begin{gather}
0=-{\frac{4.10^{-4}}{\cos \varphi}}3,75.10^{3}\cos\varphi +\frac{4.10^{-4}}{\cos \varphi}2,20.10^{4}\operatorname{sen}\varphi\\[5pt]
-3,75.10^{3}.4.10^{-4}+2,20.10^{4}.4.10^{-4}\operatorname{tg}\varphi=0\\[5pt]
2,20.10^{4}.4.10^{-4}\operatorname{tg}\varphi=3,75.10^{3}4.10^{-4}\\[5pt]
2,20.10^{4}\operatorname{tg}\varphi=3,75.10^{3}\\[5pt]
\operatorname{tg}\varphi=\frac{3,75.10^{3}}{2,20.10^{4}}\\[5pt]
\varphi=\operatorname{arctg}\left(0,17\right)\\[5pt]
\varphi \simeq 0,17
\end{gather}
\]
Substituindo o valor de φ na expressão (VIII)
\[
\begin{gather}
A=\frac{4.10^{-4}}{\cos0,17}\\[5pt]
A=\frac{4.10^{-4}}{0,99}\\[5pt]
A\simeq 4.10^{-4}
\end{gather}
\]
substituindo as constantes A e φ na expressão (VI)
\[
\begin{gather}
q=4.10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\cos\left(2,20.10^{4}t-0,17\right)
\end{gather}
\]
Equação da carga
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{q(t)=4.10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\cos\left(2,20.10^{4}t-0,17\right)}
\end{gather}
\]
b) Como Δ<0 este é um circuito RLC amortecido subcrítico.
c) Construção do gráfico de
\[
\begin{gather}
q(t)=4.10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\cos\left(2,20.10^{4}t-0,17\right)
\end{gather}
\]
A função q(t) é o produto de duas funções,
\( f(t)=4.10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t} \)
e
\( g(t)=\cos (2,20.10^{4}t-0,17) \).
Para determinar as raízes fazemos q(t) = 0, como
q(t) = f(t)g(t) temos f(t) = 0 ou
g(t) = 0.
- Para g(t) = 0
\[
\begin{gather}
g(t)=\cos (2,20.10^{4}t-0,17)=0
\end{gather}
\]
a função cosseno é igual a zero quando seu argumento
\( 2,20.10^{4}t-0,17 \)
é igual a
\( \frac{\pi}{2} \),
\( \frac{3\pi}{2} \),
\( \frac{5\pi}{2} \),...,
\( \frac{(2n+1)\pi}{2} \),
com n = 0, 1, 2, 3,...,
\[
\begin{gather}
2,20.10^{4}t-0,17=\frac{(2n+1)\pi}{2}\\[5pt]
\frac{220.10^{4}}{100}t-\frac{17}{100}=\frac{(2n+1)\pi}{2}\\[5pt]
\frac{220.10^{4}}{100}t-\frac{17}{100}=\frac{(2n+1)\pi}{2}.\frac{50}{50}\\[5pt]
\frac{220.10^{4}}{100}t-\frac{17}{100}=50\frac{(2n+1)\pi}{100}\\[5pt]
220.10^{4}t-17=50(2n+1)\pi \\[5pt]
t=\frac{50}{220.10^{4}}(2n+1)\pi+\frac{17}{220.10^{4}}\\[5pt]
t=\frac{1}{220.10^{4}}\left[50(2n+1)\pi+17\right]
\end{gather}
\]
para esses valores de t temos as raízes da função cosseno, os quatro primeiros valores para n =
0, 1, 2 e 3 serão t = 0,79.10−4; 2,22.10−4;
3,65.10−4 e 5,08.10−4 (Gráfico 1).
- Para f(t) = 0
\[
\begin{gather}
f(t)=4.10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=\frac{0}{4.10^{-4}}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade a função f(t) não cruza o eixo das
abscissas. Para qualquer valor de t real a função será sempre positiva,
f(t) > 0.Derivando a expressão f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=4.10^{-4}(-3,75.10^{3})\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\\[5pt]
\frac{df}{dt}=-0,15\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada será sempre negativa
\( \left(\frac{df(t)}{dt}<0\right) \)
e a função decresce sempre. Fazendo
\( \frac{df(t)}{dt}=0 \)
encontramos pontos de máximos e mínimos da função.
\[
\begin{gather}
\frac{df}{dt}=-0,15\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=\frac{0}{-0,15}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de máximo ou mínimo da função.Derivando uma segunda vez a função f(t)
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=-0,15(-3,75.10^{3})\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}\\[5pt]
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=5,63.10^{2}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}
\end{gather}
\]
para qualquer valor de t real a derivada segunda será sempre positiva
\( \left(\frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}>0\right) \)
e a função possui concavidade voltada para cima. Fazendo
\( \frac{d^{2}f(t)}{dt^{2}}=0 \)
encontramos pontos de inflexão na função.
\[
\begin{gather}
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=5,63.10^{2}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=\frac{0}{5,63.10^{2}}\\[5pt]
\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=0
\end{gather}
\]
como não exite t que satisfaça essa igualdade não existem pontos de inflexão na função.Para t = 0 o valor f(0) será
\[
\begin{gather}
f(0)=4.10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}.0}\\[5pt]
f(0)=4.10^{-4}\operatorname{e}^{-0}\\[5pt]
f(0)=4.10^{-4}.1\\f(0)=4.10^{-4}
\end{gather}
\]
Como a variável t representa o tempo não tem sentido o cálculo de valores negativos,
t < 0, para t tendendo a infinito
\[
\begin{gather}
\lim_{t\rightarrow \infty }f(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}4.10^{-4}\operatorname{e}^{-3,75.10^{3}t}=\lim_{t\rightarrow \infty}{\frac{4.10^{-4}}{\operatorname{e}^{3,75.10^{3}t}}}=\lim_{t\rightarrow \infty }{\frac{4.10^{-4}}{\operatorname{e}^{\infty }}}=0
\end{gather}
\]
Da análise feita acima traçamos o gráfico de f em função de t (Gráfico 2).
Como q(t) = f(t)g(t) a combinação dos gráficos produz uma curva que oscila como a função cosseno amortecida pela exponencial (Gráfico 3).
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