Exercício Resolvido de Força Elétrica e Campo Elétrico
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Determine o vetor campo elétrico de um dipolo nos pontos situados na mediatriz do dipolo. Verifique a solução para pontos muito afastados do centro do dipolo.
Esquema do problema:
O vetor r localiza o ponto P, onde queremos calcular o campo elétrico, em relação à
origem e é escrito como
\( \mathbf{r}=d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \).
O vetor r1 vai da origem até a carga +q, como a carga está localizada
na origem este vetor é igual à zero,
\( \mathbf{r}_{1}=\mathbf{0} \).
O vetor r−r1 vai carga até o ponto P, neste caso
coincide com o vetor r, é dado por
\( \mathbf{\text{r}}-\mathbf{r}_{1}=d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}-\mathbf{0}=d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \),
(Figura 1).
O vetor r é o mesmo da situação anterior. O vetor r2 vau da origem
até a carga −q, e é dado por
\( \mathbf{r}_{2}=2d\mathbf{i} \).
O vetor r−r2 vai da carga até o ponto P, e é dado por
\( \mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}=d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}-2d\mathbf{i}=-d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j} \),
(Figura 2).
Solução
O vetor do campo elétrico de um sistema discreto de cargas é calculado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\;\sum_{i=1}^{n}\;\frac{q_{i}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}\right|^{2}}\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}\right|}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\left\{\frac{q_{1}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|^{2}}\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|}+\frac{q_{2}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|^{2}}\;\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|}\right\}
\end{gather}
\]
Os denominadores da equação acima são escritos como
\( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|=\sqrt{d^{2}+y^{2}\;} \),
\( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}\right|^{2}=d^{2}+y^{2} \),
\( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|=\sqrt{(-d)^{2}+y^{2}\;}=\sqrt{d^{2}+y^{2}\;} \).
e
\( \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}\right|^{2}=d^{2}+y^{2} \)
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\left\{\frac{q}{\left(d^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\;\left(d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}\right)+\frac{-q}{\left(d^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\;\left(-d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}\right)\right\}\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q}{\left(d^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\left[d\;\mathbf{i}+y\;\mathbf{j}+d\;\mathbf{i}-y\;\mathbf{j}\right]\\[5pt]
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{2dq}{\left(d^{2}+y^2\right)^{3/2}}\;\mathbf{i}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{2qd}{\left(d^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\;\mathbf{i}}
\end{gather}
\]
Observação: O momento de dipolo p é dado pelo produto da carga pela distância entre
elas, no resultado acima temos em módulo
\[
\begin{gather}
p=q\times (2d)
\end{gather}
\]
a solução é escrita como
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{p}{\left(d^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\;\mathbf{i}
\end{gather}
\]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, y≫d, podemos desprezar o termo em d2 no denominador e a solução será
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{2qd}{y^{3}}\;\mathbf{i}}
\end{gather}
\]
Observação: Usando o momento de dipolo a solução é escrita como
\[
\begin{gather}
\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}\frac{p}{y^{3}}\;\mathbf{i}
\end{gather}
\]
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