Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Do alto de um prédio de 60 m uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de 20 m/s. Determinar:
a) O tempo de subida da pedra;
b) A altura máxima em relação ao solo;
c) Depois de quanto tempo após o lançamento a pedra atinge o solo;
d) A velocidade da pedra ao atingir o solo;
e) Construir os gráficos do espaço em função do tempo e da velocidade em função do tempo.
Dada aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.


Dados do problema:
  • Altura de lançamento da pedra:    S0 = 60 m;
  • Velocidade inicial da pedra:    v0 = 20 m/s;
  • Aceleração da gravidade:    g = 10 m/s2.
Esquema do problema:

Adotando-se um sistema de referência orientado para cima, hmáx é a altura máxima atingida pela pedra, a velocidade inicial terá sinal positivo, está no mesmo sentido do eixo de referência, a aceleração da gravidade terá sinal negativo, está no sentido contrário à orientação do eixo de referência.
Figura 1

Solução

a) A função horária da velocidade é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_{0}-gt} \]
substituindo os dados do problema na equação para a velocidade
\[ \begin{gather} v=20-10t \tag{I} \end{gather} \]
a pedra vai subir até a velocidade se anular, v = 0
\[ \begin{gather} 0=20-10t\\ 10t=20\\ t=\frac{20}{10} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t=2\;\text{s}} \]

b) A função horária do espaço percorrido é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+v_{0}t-\frac{g}{2}t^{2}} \]
substituindo os dados temos na expressão horária do movimento
\[ \begin{gather} S=60+20t-\frac{10}{2}t^{2}\\ S=60+20t-5t^{2} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo o tempo encontrado no item anterior e fazendo S = hmax
\[ \begin{gather} h_{max}=60+20.2-5.2^{2}\\ h_{max}=60+40-5.4 \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {h_{max}=80\;\text{m}} \]

c) Quando a pedra atinge o solo temos S = 0, substituindo este valor na expressão (II)
\[ -5t^{2}+20t+60=0 \]
dividindo ambos os lados da equação por −5
\[ t^{2}-4t-12=0 \]
Esta é uma Equação do 2.º Grau onde a incógnita é o valor desejado t

Solução da Equação de 2.º Grau    \( t^{2}-4 t-12=0 \)
\[ \begin{array}{l} \Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4.1.(-12)=16+48=64\\[10pt] t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-4)\pm \sqrt{64}}{2.1}=\dfrac{4\pm 8}{2} \end{array} \]
as duas raízes da equação são
\[ \begin{gather} t_{1}=6\;\text{s}\\ \qquad\text{e}\qquad\\ t_{2}=-2\;\text{s} \end{gather} \]

desprezando a segunda raiz, não existe tempo negativo, o tempo que leva para a pedra atingir o solo é de 6 s.

d) Substituindo o valor para o tempo encontrado no item anterior na expressão (I) da velocidade
\[ v=20-10.6 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v=-40\;\text{m/s}} \]
o sinal de negativo indica que a velocidade final está apontada para baixo, contra o sentido do eixo de referência.

e) Gráfico do espaço percorrido em função do tempo, S = f(t).
Usando a expressão (II) atribuímos valores a t e obtemos S, construindo a Tabela 1 e com os valores da tabela fazemos o Gráfico 1

t (s) \( S(t)=60+20t-5t^{2} \) S(t) (m)
0 \( S(0)=60+20.0-5.0^{2} \) 60
2 \( S(2)=60+20.2-5.2^{2} \) 80
4 \( S(4)=60+20.4-5.4^{2} \) 60
6 \( S(6)=60+20.6-5.6^{2} \) 0

Tabela 1


Gráfico 1

Gráfico da velocidade em função do tempo, v = f(t).
Usando a expressão (I) atribuímos valores a t e obtemos v, construindo a Tabela 2 e com os valores da tabela fazemos o Gráfico 2

t (s) \( v(t)=20t-10t \) v(t) (m/s)
0 \( v(0)=20.0-10.0 \) 20
2 \( v(2)=20.2-10.2 \) 0
4 \( v(4)=20.4-10.4 \) −20
6 \( v(6)=20.6-10.6 \) −40

Tabela 2


Gráfico 2
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