Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Calcule a relação entre as alturas atingidas por dois corpos lançados verticalmente para cima, com velocidades iniciais iguais, um na Terra, outro na Lua. Sabe-se que a aceleração da gravidade na Terra é 6 vezes maior do que na Lua.


Dados do problema:
  • Relação entre a aceleração da gravidade na Terra e na Lua:    \( g_{\small T}=6\;g_{\small L} \).
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para cima com origem no ponto de lançameto, nos dois casos, como as acelerações da gravidade apontam para o solo, seus sinais são negativos. As velocidades iniciais apontam para cima, seus sinais são positivos (Figura 1).

Figura 1

Solução

Para encontrar a altura máxima que corpo atinge, usamos a Equação de Torricceli, escrevendo para os dois corpos
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta S} \end{gather} \]
  • Para a Lua
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{0}^{2}+2g_{\small L}\Delta S_{\small L}\\[5pt] v^{2}=0^{2}+2g_{\small L}H_{\small L}\\[5pt] v^{2}=2g_{\small L}H_{\small L}\\[5pt] H_{\small L}=\frac{v^{2}}{2g_{\small L}} \tag{I} \end{gather} \]
  • Para a Terra
\[ \begin{gather} v^{2}=v_{0}^{2}+2g_{\small T}\Delta S_{\small T}\\[5pt] v^{2}=0^{2}+2g_{\small T}H_{\small T}\\[5pt] v^{2}=2g_{\small T}H_{\small T}\\[5pt] H_{\small T}=\frac{v^{2}}{2g_{\small T}} \tag{II} \end{gather} \]
dividindo a equação (I) pela equação (II)
\[ \begin{gather} \frac{H_{\small L}}{H_{\small T}}=\frac{\dfrac{v^{2}}{2g_{\small L}}}{\dfrac{v^{2}}{2g_{\small T}}}\\[5pt] \frac{H_{\small L}}{H_{\small T}}=\frac{v^{2}}{2g_{\small L}}\frac{2g_{\small T}}{v^{2}}\\[5pt] \frac{H_{\small L}}{H_{\small T}}=\frac{g_{\small T}}{g_{\small L}} \end{gather} \]
substituindo a razão entre as acelerações da gravidade na Terra e na Lua dadas no problema
\[ \begin{gather} \frac{H_{\small L}}{H_{\small T}}=\frac{6\cancel{g_{\small L}}}{\cancel{g_{\small L}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {H_{\small L}=6\;H_{\small T}} \end{gather} \]
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