Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
Português
English
publicidade
Dois trens partem simultaneamente das estações P e Q. O que sai de P dirige-se para Q e o que sai de Q dirigi-se para P em linhas paralelas. O primeiro chega ao seu destino 25 minutos depois de ter passado pelo segundo, e este chega a P 49 minutos depois do cruzamento. Pede-se a razão da velocidade dos dois trens sabendo-se que suas velocidades são constantes.
Dados do problema:
- Instante de chegada do primeiro trem à estação Q: tP = 25 minutos após o cruzamento;
- Instante de chegada do segundo trem à estação P: tQ = 49 minutos após o cruzamento.
Esquema do problema:
Solução
Os trens estão se movimentando com velocidades constantes, estão em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.). Neste tipo de movimento a velocidade média no trajeto coincide com a velocidade do móvel em qualquer ponto da trajetória, e é dada pela expressão da velocidade média
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v_{m}=\frac{\Delta S}{\Delta t}} \tag{I}
\end{gather}
\]
Escrevendo a expressão (I) para o trem que sai de P, nos intervalos ΔS1 e
ΔS2, e Δt o intervalo de tempo desde que o trem sai da estação até o
ponto E em que os trens se cruzam
\[
\begin{gather}
v_{\small P}=\frac{\Delta S_{1}}{\Delta t} \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{\small P}=\frac{\Delta S_{2}}{25} \tag{III}
\end{gather}
\]
as expressões para o trem que sai de Q serão
\[
\begin{gather}
v_{\small Q}=\frac{\Delta S_{2}}{\Delta t} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{\small Q}=\frac{\Delta S_{1}}{49} \tag{V}
\end{gather}
\]
As equações (II), (III), (IV) e (V) formam o seguinte sistema
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
\;\Delta S_{1}=v_{\small P}\Delta t\\[5pt]
\;\Delta S_{2}=25v_{\small P}\\[5pt]
\;\Delta S_{2}=v_{\small Q}\Delta t\\[5pt]
\;\Delta S_{1}=49v_{\small Q}
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
este sistema possui quatro equações e cinco incógnitas (ΔS1,
ΔS2, vP, vQ e Δt) então é um
sistema indeterminado.Dividindo a primeira equação do sistema pela quarta equação e a segunda pela terceira equação eliminamos os termos ΔS1 e ΔS2
\[
\begin{gather}
\frac{\Delta S_{1}}{\Delta S_{1}}=\frac{v_{\small P}\Delta t}{49v_{\small Q}}\\[5pt]
1=\frac{v_{\small P}\Delta t}{49v_{\small Q}}\\[5pt]
\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{49}{\Delta t} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\Delta S_{2}}{\Delta S_{2}}=\frac{25v_{\small P}}{v_{\small Q}\Delta t}\\[5pt]
1=\frac{25v_{\small P}}{v_{\small Q}\Delta t}\\[5pt]
\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{\Delta t}{25} \tag{VII}
\end{gather}
\]
igualando as relações (VI) e (VII)
\[
\begin{gather}
\frac{49}{\Delta t}=\frac{\Delta t}{25}\\[5pt]
49.25=\Delta t^{2}\\[5pt]
\Delta t=\sqrt{49.25}
\end{gather}
\]
Usando a propriedade dos radicais
\( \sqrt[{n}]{a.b}=\sqrt[{n}]{a}.\sqrt[{n}]{b} \)
\[
\begin{gather}
\Delta t=\sqrt{49}.\sqrt{25}\\[5pt]
\Delta t=7.5\\[5pt]
\Delta t=35\;\text{min}
\end{gather}
\]
este é o intervalo de tempos que os trem levam desde que partem das estações P e Q até o
ponto onde eles se cruzam. Substituindo este intervalo de tempo na relção (VI)
\[
\begin{gather}
\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{49}{35}
\end{gather}
\]
dividindo o numerador e o denominador por 7
\[
\begin{gather}
\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{49:7}{35:7}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{7}{5}}
\end{gather}
\]
Observação: Poderíamos substituir o intervalo de tempo Δt na relação (VII)
daria o mesmo resultado.
\[
\begin{gather}
\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{35}{25}
\end{gather}
\]
dividindo o numerador e o denominador por 5
\[
\begin{gather}
\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{35:5}{25:5}\\[5pt]
\frac{v_{\small P}}{v_{\small Q}}=\frac{7}{5}
\end{gather}
\]
publicidade
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .