Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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De uma plataforma situada a uma altura h acima do solo é abandonado um objeto, no mesmo instante outro é lançado do solo segundo a mesma vertical ascendente com velocidade inicial v0. Sabendo-se que os dois objetos se encontram na metade da altura, calcular h em função de v0 e da aceleração da gravidade g.


Dados do problema:
  • Altura da plataforma:    h;
  • Velocidade inicial do objeto abandonado do alto:    v01 = 0;
  • Velocidade inicial do objeto lançado para cima:    v02 = v0;
  • Aceleração da gravidade:    g.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado de baixo para cima com origem na parte mais baixa de onde é lançado o objeto para cima. A aceleração da gravidade está orientada no sentido contrário da trajetória e é negativa, g < 0. Para o objeto que é abandonado do alto da plataforma sua posição inicial será S01 = h. O objeto lançado de baixo está na origem, sua posição inicial será S0 = 0 (Figura 1-A).

Figura 1

Solução

A expressão para os movimentos de queda livre e lançamento vertical é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+v_{0}t-\frac{g}{2}t^{2}} \tag{I} \end{gather} \]
Aplicando a expressão (I) para o objeto em queda livre
\[ \begin{gather} S_{1}=S_{01}+v_{01}t-\frac{g}{2}t^{2}\\[5pt] S_{1}=h+0.t-\frac{g}{2}t^{2}\\[5pt] S_{1}=h-\frac{g}{2}t^{2} \tag{II} \end{gather} \]
Aplicando a expressão (I) para o objeto lançado verticalmente
\[ \begin{gather} S_{2}=S_{02}+v_{02}t-\frac{g}{2}t^{2}\\[5pt] S_{2}=0+v_{0}t-\frac{g}{2}t^{2}\\[5pt] S_{2}=v_{0}t-\frac{g}{2}t^{2} \tag{III} \end{gather} \]
Quando os objetos se encontram temos a condição de que estão na metade da queda, substituindo a condição, \( S_{1}=\dfrac{h}{2} \), na expressão (II)
\[ \begin{gather} \frac{h}{2}=h-\frac{g}{2}t^{2}\\[5pt] \frac{g}{2}t^{2}=h-\frac{h}{2} \end{gather} \]
do lado direito da igualdade multiplicamos e dividimos o primeiro termo por 2
\[ \begin{gather} \frac{g}{2}t^{2}=h.\frac{2}{2}-\frac{h}{2}\\[5pt] \frac{g}{2}t^{2}=\frac{2h-h}{2}\\[5pt] \frac{g}{\cancel{2}}t^{2}=\frac{h}{\cancel{2}}\\[5pt] gt^{2}=h\\[5pt] t=\sqrt{\frac{h}{g}} \tag{IV} \end{gather} \]
Como os objetos se encontram na metade da altura   \( S_{2}=\dfrac{h}{2} \),   substituindo este valor e o valor encontrado em (IV) na expressão (III)
\[ \begin{gather} \frac{h}{2}=v_{0}\sqrt{\frac{h}{g}}-\frac{g}{2}\left(\sqrt{\frac{h}{g}}\right)^{2}\\[5pt] \frac{h}{2}=v_{0}\sqrt{\frac{h}{g}}-\frac{\cancel{g}}{2}\frac{h}{\cancel{g}}\\[5pt] \frac{h}{2}=v_{0}\sqrt{\frac{h}{g}}-\frac{h}{2}\\[5pt] \frac{h}{2}+\frac{h}{2}=v_{0}\sqrt{\frac{h}{g}}\\[5pt] h=v_{0}\sqrt{\frac{h}{g}} \end{gather} \]
elevando os dois lados da igualdade ao quadrado
\[ \begin{gather} h^{2}=\left(v_{0}\sqrt{\frac{h}{g}}\right)^{2}\\[5pt] h^{2}=v_{0}^{2}\frac{h}{g}\\[5pt] \frac{h^{\cancel{2}}}{\cancel{h}}=\frac{v_{0}^{2}}{g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {h=\frac{v_{0}^{2}}{g}} \end{gather} \]
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