Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
publicidade

De uma plataforma situada a uma altura h acima do solo é abandonado um objeto, no mesmo instante outro é lançado do solo segundo a mesma vertical ascendente com velocidade inicial v0. Sabendo-se que os dois objetos se encontram na metade da altura, calcular h em função de v0 e da aceleração da gravidade g.

Dados do problema:

  • Altura da plataforma: h;
  • Velocidade inicial do objeto abandonado do alto: v01 = 0;
  • Velocidade inicial do objeto lançado para cima: v02 = v0;
  • Aceleração da gravidade: g.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado de baixo para cima com origem na parte mais baixa de onde é lançado o objeto para cima. A aceleração da gravidade está orientada no sentido contrário da trajetória e é negativa, g < 0. Para o objeto que é abandonado do alto da plataforma sua posição inicial será S01 = h. O objeto lançado de baixo está na origem, sua posição inicial será S0 = 0 (Figura 1-A).

Figura 1

Solução:

A expressão para os movimentos de queda livre e lançamento vertical é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t-\frac{g}{2}t^2} \tag{I} \end{gather} \]

Aplicando a expressão (I) para o objeto em queda livre

\[ \begin{gather} S_1=S_{01}+v_{01}t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] S_1=h+0\times t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] S_1=h-\frac{g}{2}t^2 \tag{II} \end{gather} \]

Aplicando a expressão (I) para o objeto lançado verticalmente

\[ \begin{gather} S_2=S_{02}+v_{02}t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] S_2=0+v_0t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] S_2=v_0t-\frac{g}{2}t^2 \tag{III} \end{gather} \]

Quando os objetos se encontram temos a condição de que estão na metade da queda, substituindo a condição, \( S_1=\frac{h}{2} \), na expressão (II)

\[ \begin{gather} \frac{h}{2}=h-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] \frac{g}{2}t^2=h-\frac{h}{2} \end{gather} \]

do lado direito da igualdade multiplicamos e dividimos o primeiro termo por 2

\[ \begin{gather} \frac{g}{2}t^2=h\times\frac{2}{2}-\frac{h}{2} \\[5pt] \frac{g}{2}t^2=\frac{2h-h}{2} \\[5pt] \frac{g}{\cancel 2}t^2=\frac{h}{\cancel 2} \\[5pt] gt^2=h \\[5pt] t=\sqrt{\frac{h}{g}} \tag{IV} \end{gather} \]

Como os objetos se encontram na metade da altura \( S_2=\frac{h}{2} \), substituindo este valor e o valor encontrado em (IV) na expressão (III)

\[ \begin{gather} \frac{h}{2}=v_0\sqrt{\frac{h}{g}}-\frac{g}{2}\left(\sqrt{\frac{h}{g}}\right)^2 \\[5pt] \frac{h}{2}=v_0\sqrt{\frac{h}{g}}-\frac{\cancel g}{2}\frac{h}{\cancel g} \\[5pt] \frac{h}{2}=v_0\sqrt{\frac{h}{g}}-\frac{h}{2} \\[5pt] \frac{h}{2}+\frac{h}{2}=v_0\sqrt{\frac{h}{g}} \\[5pt] h=v_0\sqrt{\frac{h}{g}} \end{gather} \]

elevando os dois lados da igualdade ao quadrado

\[ \begin{gather} h^2=\left(v_0\sqrt{\frac{h}{g}}\right)^2 \\[5pt] h^2=v_0^2\frac{h}{g} \\[5pt] \frac{h^{\cancel 2}}{\cancel{h}}=\frac{v_0^2}{g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {h=\frac{v_0^2}{g}} \end{gather} \]
publicidade