Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
publicidade   



Um carro parte do repouso em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.). O carro percorre 100 m e 120 m em segundos sucessivos. Determinar a aceleração do movimento.


Dados do problema:
  • Velocidade inicial do carro:    v0 = 0;
  • Distância percorrida entre t e (t +1) segundos:    S2 − S1 = 100 m;
  • Distância percorrida entre (t +1) e (t +2) segundos:    S3 − S2 = 120 m.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita, o carro parte da origem, S0 = 0.
Após t segundos da partida o carro percorre uma distância de S metros. Então no intervalo de tempo de 1 segundo, entre t e (t+1) segundos, percorre o espaço de 100 metros chegando na posição (S+100) metros.

Figura 1

No próximo intervalo de tempo de 1 segundo, entre t+1 e t+2 segundos, percorre o espaço de 120 metros chegando na posição S+220 metros.

Solução

O carro está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), a equação deste movimento é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}} \tag{I} \end{gather} \]
Escrevendo esta equação para o movimento do carro entre a origem S0 = 0 e o ponto S
\[ \begin{gather} S=0+0.t+\frac{a}{2}t^{2}\\ S=\frac{a}{2}t^{2} \tag{II} \end{gather} \]
Escrevendo a expressão (I) para o movimento do carro entre a origem S0 = 0 e o ponto S+100
\[ \begin{gather} S+100=0+0.t+\frac{a}{2}(t+1)^{2}\\ S+100=\frac{a}{2}(t+1)^{2} \tag{III} \end{gather} \]
Escrevendo a expressão (I) para o movimento do carro entre a origem S0 = 0 e o ponto S+220
\[ \begin{gather} S+220=0+0.t+\frac{a}{2}(t+2)^{2}\\ S+220=\frac{a}{2}(t+2)^{2} \tag{IV} \end{gather} \]
As expressões (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas S, a e t
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} S=\dfrac{a}{2}t^{2}\\ S+100=\dfrac{a}{2}(t+1)^{2}\\ S+220=\dfrac{a}{2}(t+2)^{2} \end{array} \right. \tag{V} \end{gather} \]
subtraindo a primeira equação da segunda no sistema (V)
\[ \begin{gather} \quad \cancel{S}+100=\frac{a}{2}(t+1)^{2}\\ \frac{\text{(-)} \qquad\quad \cancel{S}=\dfrac{a}{2}t^{2} \qquad\quad}{100=\dfrac{a}{2}(t+1)^{2}-\dfrac{a}{2}t^{2}} \end{gather} \]
colocando o termo \( \frac{a}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade
\[ 100=\frac{a}{2}\left[(t+1)^{2}-t^{2}\right] \]
Lembrando dos Produtos Notáveis
\[ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \]

desenvolvendo o primeiro termo entre colchetes
\[ \begin{gather} 100=\frac{a}{2}\left[t^{2}+2t+1-t^{2}\right]\\ 100=\frac{a}{2}\left(2t+1\right) \tag{VI} \end{gather} \]
Subtraindo a segunda equação da terceira no sistema (V)
\[ \begin{gather} \qquad\; \cancel{S}+220=\frac{a}{2}(t+2)^{2} \qquad \\ \frac{\text{(-)} \quad \cancel{S}+100=\dfrac{a}{2}(t+1)^{2} \qquad}{120=\dfrac{a}{2}(t+2)^{2}-\dfrac{a}{2}(t+1)^{2}} \end{gather} \]
colocando o termo \( \frac{a}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade
\[ 120=\frac{a}{2}\left[(t+2)^{2}-(t+1)^{2}\right] \]
os dois termos entre colchetes são Produtos Notáveis da mesma forma usada acima
\[ \begin{gather} 120=\frac{a}{2}\left[t^{2}+2.2t+2^{2}-\left(t^{2}+2t+1\right)\right]\\ 120=\frac{a}{2}\left[t^{2}+4t+4-t^{2}-2t-1\right]\\ 120=\frac{a}{2}\left(2t+3\right) \tag{VII} \end{gather} \]
As expressões (VI) e (VII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas a e t
\[ \left\{ \begin{matrix} 100=\dfrac{a}{2}\left(2t+1\right)\\ 120=\dfrac{a}{2}\left(2t+3\right) \end{matrix} \tag{VIII} \right. \]
subtraindo a primeira equação da segunda no sistema (VIII)
\[ \frac{\left. \begin{matrix} \quad\quad 120=\dfrac{a}{2}\left(2t+3\right)\\ (-) \quad 100=\dfrac{a}{2}\left(2t+1\right) \end{matrix} \quad \right.}{20=\dfrac{a}{2}(2t+3)-\dfrac{a}{2}(2t+1)} \]
colocando o termo \( \frac{a}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade
\[ \begin{gather} 20=\frac{a}{2}\left[(2t+3)-(2t+1)\right]\\ 20=\frac{a}{2}\left[2t+3-2t-1\right]\\ 20=\frac{a}{\cancel{2}}.\cancel{2} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {a=20\;\text{m/s}^{2}} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .