Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um carro parte do repouso em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.). O carro percorre 100 m e 120 m em segundos sucessivos. Determinar a aceleração do movimento.

Dados do problema:

  • Velocidade inicial do carro: v0 = 0;
  • Distância percorrida entre t e (t +1) segundos: S2 − S1 = 100 m;
  • Distância percorrida entre (t +1) e (t +2) segundos: S3 − S2 = 120 m.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita, o carro parte da origem, S0 = 0.
Após t segundos da partida o carro percorre uma distância de S metros. Então no intervalo de tempo de 1 segundo, entre t e (t+1) segundos, percorre o espaço de 100 metros chegando na posição (S+100) metros.

Figura 1

No próximo intervalo de tempo de 1 segundo, entre t+1 e t+2 segundos, percorre o espaço de 120 metros chegando na posição S+220 metros.

Solução:

O carro está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), a equação deste movimento é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \tag{I} \end{gather} \]

Escrevendo esta equação para o movimento do carro entre a origem S0 = 0 e o ponto S

\[ \begin{gather} S=0+0\times t+\frac{a}{2}t^2 \\[5pt] S=\frac{a}{2}t^2 \tag{II} \end{gather} \]

Escrevendo a equação (I) para o movimento do carro entre a origem S0 = 0 e o ponto S+100

\[ \begin{gather} S+100=0+0\times t+\frac{a}{2}(t+1)^2 \\[5pt] S+100=\frac{a}{2}(t+1)^2 \tag{III} \end{gather} \]

Escrevendo a equação (I) para o movimento do carro entre a origem S0 = 0 e o ponto S+220

\[ \begin{gather} S+220=0+0\times t+\frac{a}{2}(t+2)^2 \\[5pt] S+220=\frac{a}{2}(t+2)^2 \tag{IV} \end{gather} \]

As equações (II), (III) e (IV) formam um sistema de três equações a três incógnitas S, a e t

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} S=\dfrac{a}{2}t^2\\ S+100=\dfrac{a}{2}(t+1)^2\\ S+220=\dfrac{a}{2}(t+2)^2 \end{array} \right. \tag{V} \end{gather} \]

subtraindo a primeira equação da segunda no sistema (V)

\[ \begin{gather} \quad \cancel{S}+100=\frac{a}{2}(t+1)^2\\ \frac{\mathrm{(-)} \qquad\quad \cancel{S}=\dfrac{a}{2}t^2 \qquad\quad}{100=\dfrac{a}{2}(t+1)^2-\dfrac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

colocando o termo \( \frac{a}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 100=\frac{a}{2}\left[(t+1)^2-t^2\right] \end{gather} \]
Dos Produtos Notáveis
\[ \begin{gather} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{gather} \]

desenvolvendo o primeiro termo entre colchetes

\[ \begin{gather} 100=\frac{a}{2}\left[t^2+2t+1-t^2\right] \\[5pt] 100=\frac{a}{2}\left(2t+1\right) \tag{VI} \end{gather} \]

Subtraindo a segunda equação da terceira no sistema (V)

\[ \begin{gather} \qquad\; \cancel{S}+220=\frac{a}{2}(t+2)^2 \qquad \\ \frac{\mathrm{(-)} \quad \cancel{S}+100=\dfrac{a}{2}(t+1)^2 \qquad}{120=\dfrac{a}{2}(t+2)^2-\dfrac{a}{2}(t+1)^2} \end{gather} \]

colocando o termo \( \frac{a}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 120=\frac{a}{2}\left[(t+2)^2-(t+1)^2\right] \end{gather} \]

os dois termos entre colchetes são Produtos Notáveis da mesma forma usada acima

\[ \begin{gather} 120=\frac{a}{2}\left[t^2+2\times 2t+2^2-\left(t^2+2t+1\right)\right] \\[5pt] 120=\frac{a}{2}\left[t^2+4t+4-t^2-2t-1\right] \\[5pt] 120=\frac{a}{2}\left(2t+3\right) \tag{VII} \end{gather} \]

As equações (VI) e (VII) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas a e t

\[ \begin{gather} \left\{ \begin{matrix} 100=\dfrac{a}{2}\left(2t+1\right)\\ 120=\dfrac{a}{2}\left(2t+3\right) \end{matrix} \tag{VIII} \right. \end{gather} \]

subtraindo a primeira equação da segunda no sistema (VIII)

\[ \begin{gather} \frac{\left. \begin{matrix} \quad\quad 120=\dfrac{a}{2}\left(2t+3\right)\\ (-) \quad 100=\dfrac{a}{2}\left(2t+1\right) \end{matrix} \quad \right.}{20=\dfrac{a}{2}(2t+3)-\dfrac{a}{2}(2t+1)} \end{gather} \]

colocando o termo \( \frac{a}{2} \) em evidência do lado direito da igualdade

\[ \begin{gather} 20=\frac{a}{2}\left[(2t+3)-(2t+1)\right] \\[5pt] 20=\frac{a}{2}\left[2t+3-2t-1\right] \\[5pt] 20=\frac{a}{\cancel 2}\times\cancel 2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=20\;\mathrm{m/s}^2} \end{gather} \]
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