Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Dois tratores partem juntos, manobrando paralelamente em linha reta, num canteiro de obras. O gráfico da velocidade em função do tempo que representa o movimento dos tratores está mostrado na figura. Calcular a distância que os separa ao final da manobra.

Solução:

Num gráfico da velocidade em função do tempo, v = f(t), a área entre a curva da velocidade e o eixo das abscissas (eixo do tempo) fornece o espaço percorrido pelo móvel naquele intervalo de tempo.

  • Trator A:
Figura 1

Pela Figura 1 o deslocamento do trator A será a soma da área do triângulo 1 com a área do trapézio 2. A área de um triângulo é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{b h}{2}} \tag{I} \end{gather} \]

substituindo os dados do gráfico na equação (I)

\[ \begin{gather} A=S_1=\frac{80\times 4}{2} \\[5pt] S_1=\frac{320}{2} \\[5pt] S_1=160\;\mathrm m \end{gather} \]

A área de um trapézio é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{(B+b) h}{2}} \tag{II} \end{gather} \]

substituindo os dados do gráfico na equação (II)

\[ \begin{gather} A=S_2=\frac{[(160-80)+(140-120)]\times(-4)}{2} \\[5pt] S_2=\frac{[80+20]\times(-4)}{2} \\[5pt] S_2=\frac{100\times(-4)}{2} \\[5pt] S_2=\frac{-400}{2} \\[5pt] S_2=-200\;\mathrm m \end{gather} \]

Como não existe área negativa o sinal na área S2 indica que o trator A andou contra a orientação da trajetória, a posição ocupada pelo trator A será

\[ \begin{gather} S_{A}=S_1+S_2 \\[5pt] S_{A}=160+(-200) \\[5pt] S_{A}=-40\;\mathrm m \end{gather} \]
  • Trator B:
Figura 2

Pela Figura 2 o deslocamento do trator B será a soma da área do triângulo 3 com a área do trapézio 4.
Substituindo os dados do gráfico na equação (I)

\[ \begin{gather} A=S_1=\frac{80\times(-4)}{2} \\[5pt] S_1=\frac{-320}{2} \\[5pt] S_1=-160\;\mathrm m \end{gather} \]

substituindo os dados do gráfico na equação (II)

\[ \begin{gather} A=S_2=\frac{[(160-80)+(140-120)]\times 4}{2} \\[5pt] S_2=\frac{[80+20]\times 4}{2} \\[5pt] S_2=\frac{100\times 4}{2} \\[5pt] S_2=\frac{400}{2} \\[5pt] S_2=200\;\mathrm m \end{gather} \]

Como não existe área negativa o sinal na área S3 indica que o trator B andou contra a orientação da trajetória, a posição ocupada pelo trator B será

\[ \begin{gather} S_b=S_{3}+S_{4} \\[5pt] S_b=-160+200 \\[5pt] S_b=40\;\mathrm m \end{gather} \]

A distância entre os tratores ao final da manobra será a diferença de espaço entre eles

\[ \begin{gather} \Delta S=\left|S_{A}-S_b\right| \\[5pt] \Delta S=\left|40-40\right| \\[5pt] \Delta S=\left|-80\right| \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=80\;\mathrm m} \end{gather} \]
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