Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Dois tratores partem juntos, manobrando paralelamente em linha reta, num canteiro de obras. O gráfico da velocidade em função do tempo que representa o movimento dos tratores está mostrado na figura. Calcular a distância que os separa ao final da manobra.



Solução

Num gráfico da velocidade em função do tempo, v = f(t), a área entre a curva da velocidade e o eixo das abscissas (eixo do tempo) fornece o espaço percorrido pelo móvel naquele intervalo de tempo.
  • Trator A:
Figura 1

Pela Figura 1 o deslocamento do trator A será a soma da área do triângulo 1 com a área do trapézio 2. A área de um triângulo é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{b h}{2}} \tag{I} \end{gather} \]
substituindo os dados do gráfico na expressão (I)
\[ \begin{gather} A=S_{1}=\frac{80.4}{2}\\ S_{1}=\frac{320}{2}\\ S_{1}=160\;\text{m} \end{gather} \]
A área de um trapézio é dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {A=\frac{(B+b) h}{2}} \tag{II} \end{gather} \]
substituindo os dados do gráfico na expressão (II)
\[ \begin{gather} A=S_{2}=\frac{[(160-80)+(140-120)].(-4)}{2}\\ S_{2}=\frac{[80+20].(-4)}{2}\\ S_{2}=\frac{100.(-4)}{2}\\ S_{2}=\frac{-400}{2}\\ S_{2}=-200\;\text{m} \end{gather} \]
Como não existe área negativa o sinal na área S2 indica que o trator A andou contra a orientação da trajetória, a posição ocupada pelo trator A será
\[ \begin{gather} S_{A}=S_{1}+S_{2}\\ S_{A}=160+(-200)\\ S_{A}=-40\;\text{m} \end{gather} \]
  • Trator B:
Figura 2

Pela Figura 2 o deslocamento do trator B será a soma da área do triângulo 3 com a área do trapézio 4.
Substituindo os dados do gráfico na expressão (I)
\[ \begin{gather} A=S_{1}=\frac{80.(-4)}{2}\\ S_{1}=\frac{-320}{2}\\ S_{1}=-160\;\text{m} \end{gather} \]
substituindo os dados do gráfico na expressão (II)
\[ \begin{gather} A=S_{2}=\frac{[(160-80)+(140-120)].4}{2}\\ S_{2}=\frac{[80+20].4}{2}\\ S_{2}=\frac{100.4}{2}\\ S_{2}=\frac{400}{2}\\ S_{2}=200\;\text{m} \end{gather} \]
Como não existe área negativa o sinal na área S3 indica que o trator B andou contra a orientação da trajetória, a posição ocupada pelo trator B será
\[ \begin{gather} S_{B}=S_{3}+S_{4}\\ S_{B}=-160+200\\ S_{B}=40\;\text{m} \end{gather} \]
A distância entre os tratores ao final da manobra será a diferença de espaço entre eles
\[ \begin{gather} \Delta S=\left|S_{A}-S_{B}\right|\\ \Delta S=\left|40-40\right|\\ \Delta S=\left|-80\right| \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {\Delta S=80\;\text{m}} \]
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