Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional
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Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s2. Nesse instante passa por ele um outro ciclista B, com velocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido do ciclista A.
a) Depois de quanto tempo, após a largada, o ciclista A alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?


Dados do problema:
  • Velocidade inicial do ciclista A:    v0A = 0;
  • Aceleração do ciclista A:    aA = 0,50 m/s2;
  • Velocidade do ciclista B:    vB = 5,0 m/s.
Esquema do problema:

Figura 1

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita com origem no ponto onde o ciclista A começa a sua corrida (Figura 1).

Solução

O ciclista A possui uma aceleração, ele está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+v_{0}t+\frac{a}{2}t^{2}} \]
para o ciclista A
\[ \begin{gather} S_{A}=S_{0 A}+v_{0 A}t+\frac{a_{A}}{2}t^{2}\\ S_{A}=0+0.t+\frac{0,50}{2}t^{2}\\ S_{A}=\frac{0,50}{2}t^{2}\\ S_{A}=0,25t^{2} \tag{I} \end{gather} \]
A equação da velocidade é dada por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_{0}+at} \]
para o ciclista A
\[ \begin{gather} v_{A}=v_{0 A}+a_{A}t\\ v_{A}=0+0,50t\\ v_{A}=0,50t \tag{II} \end{gather} \]
O ciclista B possui velocidade constante, esta em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), dado por
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_{0}+vt} \]
para o ciclista B
\[ \begin{gather} S_{B}=S_{0 B}+v_{B}t\\ S_{B}=0+5,0 t\\ S_{B}=5,0 t \tag{III} \end{gather} \]
As expressões (I) e (III) são as funções horárias que representam a posição dos ciclistas.

a) Quando o ciclista A alcança o ciclista B os dois ocupam a mesma posição na trajetória, assim podemos igualar as expressões (I) e (III) impondo a condição
\[ \begin{gather} S_{A}=S_{B}\\ 0,25t^{2}=5,0t\\ 0,25t^{2}-5,0t=0 \end{gather} \]
colocando 0,25t em evidência
\[ 0,25t(t-20,0)=0 \]
resolvendo esta equação teremos duas possibilidades, \( 0,25t=0 \) ou \( t-20,0=0 \), primeiro caso
\[ \begin{gather} 0,25t=0\\ t=\frac{0}{0,25}\\ t=0 \end{gather} \]
para o segundo caso
\[ \begin{gather} t-20,0=0\\ t=20,0\;\text{s} \end{gather} \]
O valor t = 0 representa o instante em que o ciclista B está passando pelo ciclista A, que está saindo do repouso e acelerando, é o primeiro encontro quando começamos a contar o tempo. O valor t = 20,0 s representa o intervalo de tempo que o ciclista A leva para ir aumentando a sua velocidade e ultrapassar o ciclista B, este é o instante da ultrapassagem.
O ciclista A leva 20,0 s para alcançar o ciclista B.

b) Substituindo o valor encontrado no item anterior na expressão (II) encontramos a velocidade de A na ultrapassagem
\[ v_{A}=0,50.20,0 \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{A}=10,0\;\text{m/s}} \]
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