Exercício Resolvido de Movimento Unidimensional

Um ciclista A inicia uma corrida a partir do repouso, acelerando 0,50 m/s². Nesse instante passa por ele um outro ciclista B, com velocidade constante de 5,0 m/s e no mesmo sentido do ciclista A.
a) Depois de quanto tempo, após a largada, o ciclista A alcança o ciclista B?
b) Qual a velocidade do ciclista A ao alcançar o ciclista B?

Dados do problema:

Velocidade inicial do ciclista A: v_0a = 0;
Aceleração do ciclista A: a_a = 0,50 m/s²;
Velocidade do ciclista B: v_b = 5,0 m/s.

Esquema do problema:

Figura 1

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita com origem no ponto onde o ciclista A começa a sua corrida (Figura 1).

Solução:

O ciclista A possui uma aceleração, ele está em Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (M.R.U.V.), dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+v_0t+\frac{a}{2}t^2} \end{gather} \]

para o ciclista A

\[ \begin{gather} S_a=S_{0 a}+v_{0 a}t+\frac{a_a}{2}t^2 \\[5pt] S_a=0+0\times t+\frac{0,50}{2}t^2 \\[5pt] S_a=\frac{0,50}{2}t^2 \\[5pt] S_a=0,25t^2 \tag{I} \end{gather} \]

A equação da velocidade é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v=v_0+at} \end{gather} \]

para o ciclista A

\[ \begin{gather} v_a=v_{0 a}+a_at \\[5pt] v_a=0+0,50t \\[5pt] v_a=0,50t \tag{II} \end{gather} \]

O ciclista B possui velocidade constante, esta em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.), dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S=S_0+vt} \end{gather} \]

para o ciclista B

\[ \begin{gather} S_b=S_{0 b}+v_bt \\[5pt] S_b=0+5,0 t \\[5pt] S_b=5,0 t \tag{III} \end{gather} \]

As equações (I) e (III) são as funções horárias que representam a posição dos ciclistas.

a) Quando o ciclista A alcança o ciclista B os dois ocupam a mesma posição na trajetória, assim podemos igualar as equações (I) e (III) impondo a condição

\[ \begin{gather} S_a=S_b \\[5pt] 0,25t^2=5,0t \\[5pt] 0,25t^2-5,0t=0 \end{gather} \]

colocando 0,25t em evidência

\[ \begin{gather} 0,25t(t-20,0)=0 \end{gather} \]

resolvendo esta equação teremos duas possibilidades, \( 0,25t=0 \) ou \( t-20,0=0 \), primeiro caso

\[ \begin{gather} 0,25t=0 \\[5pt] t=\frac{0}{0,25} \\[5pt] t=0 \end{gather} \]

para o segundo caso

\[ \begin{gather} t-20,0=0 \\[5pt] t=20,0\;\mathrm s \end{gather} \]

O valor t = 0 representa o instante em que o ciclista B está passando pelo ciclista A, que está saindo do repouso e acelerando, é o primeiro encontro quando começamos a contar o tempo. O valor t = 20,0 s representa o intervalo de tempo que o ciclista A leva para ir aumentando a sua velocidade e ultrapassar o ciclista B, este é o instante da ultrapassagem.
O ciclista A leva 20,0 s para alcançar o ciclista B.

b) Substituindo o valor encontrado no item anterior na equação (II) encontramos a velocidade de A na ultrapassagem

\[ \begin{gather} v_a=0,50\times 20,0 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_a=10,0\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]