Duas bolas absolutamente elásticas, de massas m1 e m2 e velocidades
v1 e v2 respectivamente, chocam-se frontalmente, suas velocidades estão
na direção da linha que une os seus centros. Determinar as velocidades das bolas após o choque nos
casos:
a) A velocidade da segunda bola antes do choque é igual a zero;
b) As massas das bolas são iguais.
Dados do problema:
- Massa da bola 1: m1;
- Massa da bola 2: m2;
- Velocidade inicial da bola 1: v1;
- Velocidade inicial da bola 2: v2.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência orientado para a direita, com a velocidade da bola 1 no mesmo sentido do
referencial, v1 > 0, e a velocidade da bola 2 no sentido contrário,
v2 < 0 (Figura 1).
Solução:
Como o choque é elástico a quantidade de movimento e a energia cinética do sistema se conservam.
Escrevemos as equações para as bolas 1 e 2 nas situações inicial e final.
A quantidade de movimento é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{\vec Q=m\vec v}
\end{gather}
\]
A energia cinética é dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E_c=\frac{mv^2}{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_{1i}=m_1v_1 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_{2i}=m_2v_2 \tag{II}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{c 1i}=\frac{m_1v_1^2}{2} \tag{III}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{c 2i}=\frac{m_2v_2^2}{2} \tag{IV}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_{1f}=m_1v_{1f} \tag{V}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
Q_{2f}=m_2v_{2f} \tag{VI}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{c 1f}=\frac{m_1v_{1f}^2}{2} \tag{VII}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E_{c 2f}=\frac{m_2v_{2f}^2}{2} \tag{VIII}
\end{gather}
\]
Aplicando o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento, aplicando as equações (I), (II),
(V) e (VI)
\[
\begin{gather}
Q_{i}=Q_{f} \\[5pt]
m_1v_1-m_2v_2=m_1v_{1f}+m_2v_{2f} \tag{IX}
\end{gather}
\]
Aplicando o Princípio da Conservação da Energia, aplicando as equações (III), (IV), (VII) e (VIII)
\[
\begin{gather}
E_{ci}=E_{cf} \\[5pt]
\frac{m_1v_1^2}{\cancel 2}+\frac{m_2v_2^2}{\cancel 2}=\frac{m_1v_{1f}^2}{\cancel 2}+\frac{m_2v_{2f}^2}{\cancel 2} \\[5pt]
m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2 \tag{X}
\end{gather}
\]
As equações (IX) e (X) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas
(v1f e v2f)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
m_1v_1-m_2v_2=m_1v_{1f}+m_2v_{2f} \\
m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2
\end{matrix} \tag{XI}
\right.
\end{gather}
\]
a) Fazendo v2 = 0 no sistema (XI)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
m_1v_1-m_2\times 0=m_1v_{1f}+m_2v_{2f} \\
m_1v_1^2+m_2\times 0^2=m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2
\end{matrix}
\right.
\\[5pt]
\left\{
\begin{matrix}
m_1v_1=m_1v_{1f}+m_2v_{2f} \\
m_1v_1^2=m_1v_{1f}^2+m_2v_{2f}^2
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de v2f na primeira equação
\[
\begin{gather}
m_2v_{2f}=m_1v_1-m_1v_{1f} \\[5pt]
v_{2f}=\frac{1}{m_2}(m_1v_1-m_1v_{1f}) \tag{XII}
\end{gather}
\]
e substituindo na segunda
\[
\begin{gather}
m_1v_1^2=m_1v_{1f}^2+m_2\left[\frac{1}{m_2}(m_1v_1-m_1v_{1f})\right]^2 \\[5pt]
m_1v_1^2=m_1v_{1f}^2+\cancel{m_2}\frac{1}{m_2^{\cancel 2}}(m_1v_1-m_1v_{1f})^2
\end{gather}
\]
o termo entre parênteses do lado direito da igualdade é um Produto Notável do tipo
\( (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)
\[
\begin{gather}
m_1v_1^2=m_1v_{1f}^2+\frac{1}{m_2}\left(m_1^2v_1^2-2m_1^2v_1v_{1f}+m_1^2v_{1f}^2\right) \tag{XIII}
\end{gather}
\]
multiplicando a equação (XIII) por m2
\[
\begin{gather}
\qquad \qquad \qquad m_1v_1^2=m_1v_{1f}^2+\frac{1}{m_2}\left(m_1^2v_1^2-2m_1^2v_1v_{1f}+m_1^2v_{1f}^2\right)\qquad (\;\times m_2\;) \\[5pt]
\; m_1m_2v_1^2=m_1m_2v_{1f}^2+m_1^2v_1^2-2m_1^2v_1v_{1f}+m_1^2v_{1f}^2 \\[5pt]
\; \cancel{m_1}m_2v_1^2=\cancel{m_1}\left( m_2v_{1f}^2+m_1v_1^2-2m_1v_1v_{1f}+m_1v_{1f}^2\right) \\[5pt]
m_2v_1^2=m_2v_{1f}^2+m_1v_1^2-2m_1v_1v_{1f}+m_1v_{1f}^2 \\[5pt]
\left(m_2+m_1\right)v_{1f}^2-2m_1v_1v_{1f}+m_1v_1^2-m_2v_1^2=0
\end{gather}
\]
Esta é uma Equação do 2.º Grau do tipo
\( ax^2+bx+c=0 \)
onde a incógnita é o valor desejado v1f.
Solução de
\( \underbrace{\left(m_2+m_1\right)}_{a}\underbrace{v_{1f}^2}_{x^2}-\underbrace{2m_1v_1}_{b}\underbrace{v_{1f}}_{x}+\underbrace{m_1v_1^2-m_2v_1^2}_c=0 \)
\[ \underbrace{\left(m_2+m_1\right)}_{a}\underbrace{v_{1f}^2}_{x^2}-\underbrace{2m_1v_1}_{b}\underbrace{v_{1f}}_{x}+\underbrace{m_1v_1^2-m_2v_1^2}_c=0 \]
\[
\begin{align}
& \Delta=b^2-4ac=\left(-2m_1v_1\right)^2-4\left(m_2+m_1\right)\left(m_1v_1^2-m_2v_1^2\right) \\[5pt]
& \Delta=4m_1^2v_1^2-4\left(m_1m_2v_1^2-m_2^2v_1^2+m_1^2v_1^2-m_1m_2v_1^2\right) \\[5pt]
& \Delta=4m_1^2v_1^2-4\left(-m_2^2v_1^2+m_1^2v_1^2\right) \\[5pt]
& \Delta=4m_1^2v_1^2+4m_2^2v_1^2-4m_1^2v_1^2 \\[5pt]
& \Delta =4m_2^2v_1^2 \\[10pt]
& v_{1f}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta \;}}{2a}=\dfrac{-\left(-2m_1v_1\right)\pm\sqrt{4m_2^2v_1^2\;}}{2(m_1+m_2)} \\[5pt]
& v_{1f}=\dfrac{2m_1v_1\pm2m_2v_1}{2(m_1+m_2)}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
v_{1f}=\frac{(m_1+m_2)}{(m_1+m_2)}v_1 \\[5pt]
v_{1f}=v_1 \tag{XIV}
\end{gather}
\]
\[
\text{ou}
\]
\[
\begin{gather}
v_{1f}=\frac{(m_1-m_2)}{(m_1+m_2)}v_1
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{1f}=\frac{(m_1-m_2)}{(m_1+m_2)}v_1}
\end{gather}
\]
substituindo esta solução na equação (XII)
\[
\begin{gather}
v_{2f}=\frac{1}{m_2}\left[m_1v_1-m_1\frac{\left(m_1-m_2\right)}{(m_1+m_2)}v_1\right] \\[5pt]
v_{2f}=\frac{1}{m_2}\left[\frac{m_1v_1(m_1+m_2)-m_1\left(m_1-m_2\right)v_1}{(m_1+m_2)}\right] \\[5pt]
v_{2f}=\frac{1}{m_2}\left[\frac{m_1^2v_1+m_1m_2v_1-m_1^2v_1+m_1m_2v_1}{(m_1+m_2)}\right] \\[5pt]
v_{2f}=\frac{1}{\cancel{m_2}}\left[\frac{2m_1\cancel{m_2}v_1}{(m_1+m_2)}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{2f}=\frac{2m_1v_1}{(m_1+m_2)}}
\end{gather}
\]
Se m1 > m2, a velocidade final da bola 1 será positiva,
v1f > 0, pois m1 − m2 > 0, a
velocidade final da bola 2 também será positiva, v2f > 0. Isto significa que
após o choque a bola 1 continua se deslocando no mesmo sentido da trajetória com velocidade menor, e a
bola 2, que estava em repouso, começa a se deslocar no mesmo sentido (Figura 2-A).
Se m1 < m2, a velocidade final da bola 1 será negativa,
v1f < 0, pois m1 − m2 < 0, a
velocidade final da bola 2 será positiva, v2f > 0. Isto significa que a bola 1
que se deslocava no mesmo sentido da trajetória inverte seu movimento após o choque e volta contra a
orientação da trajetória, a bola 2 começa a se deslocar favor da orientação da trajetória (Figura 2-B).
Substituindo a solução (XIV) na equação (XII)
\[
\begin{gather}
v_{2f}=\frac{1}{m_2}(m_1v_1-m_1v_1) \\[5pt]
v_{2f}=0 \tag{XV}
\end{gather}
\]
Observação: As soluções (XIV) e (XV) não foram utilizadas, pois apresentam uma impossibilidade física.
A bola 1 continuaria com sua velocidade a favor da orientação da trajetória e a bola 2 continuaria em repouso, não
haveria choque, a bola 1 seria uma “bola fantasma” passando uma através da bola 2 (Figura 3).
b) Fazendo m1 = m2 = m no sistema (XI)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{matrix}
\cancel m v_1-\cancel m v_2=\cancel m v_{1f}+\cancel m v_{2f} \\
\cancel m v_1^2+\cancel m v_2^2=\cancel m v_{1f}^2+\cancel m v_{2f}^2
\end{matrix}
\right.
\\[5pt]
\left\{
\begin{matrix}
v_1-v_2=v_{1f}+v_{2f} \\
v_1^2+v_2^2=v_{1f}^2+v_{2f}^2
\end{matrix}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de v2f na primeira equação
\[
\begin{gather}
v_{2f}=v_1-v_2-v_{1f} \tag{XVI}
\end{gather}
\]
e substituindo na segunda equação
\[
\begin{gather}
v_1^2+v_2^2=v_{1f}^2+(v_1-v_2-v_{1f})^2
\end{gather}
\]
o termo entre parênteses do lado direito da igualdade é do tipo
\( (a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc \)
\( (a-b-c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc \)
aplicando à equação acima
\[
\begin{gather}
v_1^2+v_2^2=v_{1f}^2+v_1^2-2v_1v_2-2v_1v_{1f}+v_2^2+2v_2v_{1f}+v_{1f}^2
\end{gather}
\]
Observação: Podemos multiplicar diretamente os dois termos
\[
\begin{array}{l}
\begin{array}{l}
v_1-v_2-v_{1f} \\
v_1-v_2-v_{1f}
\end{array} \\
\hline
\begin{alignat}{4}
& v_1^2 & - & v_1v_2 & - & v_1v_{1f} \\
& & - & v_1v_2 & & & + & v_2^2 & + & v_2v_{1f} \\
& & & & - & v_1v_{1f} & & & + & v_2v_{1f} & + & v_{1f}^2 \\
\hline
& v_1^2 & - & 2 v_1v_2 & - & 2 v_1v_{1f} & + & v_2^2 & + & 2 v_2v_{1f} & + & v_{1f}^2
\end{alignat} \\
\end{array}
\]
\[
\begin{gather}
\cancel{v_1^2}+\cancel{v_2^2}=\cancel{v_1^2}-2v_1v_2-2v_1v_{1f}+\cancel{v_2^2}+2v_2v_{1f}+v_{1f}^2 \\[5pt]
0=v_{1f}^{\;2}-2v_1v_2-2v_1v_{1f}+2v_2v_{1f}+v_{1f}^2 \\[5pt]
2v_{1f}^{;2}+\left(2v_2-2v_1\right)v_{1f}-2v_1v_2=0
\end{gather}
\]
Esta é uma Equação do 2.º Grau do tipo
\( ax^2+bx+c=0 \)
onde a incógnita é o valor desejado v1f.
Solução de
\( \underbrace{2}_{a}\underbrace{v_{1f}^2}_{x^2}+\underbrace{\left(2v_2-2v_1\right)}_{b}\underbrace{v_{1f}}_{x}-\underbrace{2v_1v_2}_c=0 \)
\( \underbrace{2}_{a}\underbrace{v_{1f}^2}_{x^2}+\underbrace{\left(2v_2-2v_1\right)}_{b}\underbrace{v_{1f}}_{x}-\underbrace{2v_1v_2}_c=0 \)
\[
\begin{align}
& \Delta=b^2-4ac=\left(2v_2-2v_1\right)^2-4.2\left(-2v_1v_2\;\right) \\[5pt]
& \Delta=4v_2^2-8v_1v_2+4v_1^2-8\left(-2v_1v_2\right) \\[5pt]
& \Delta =4v_1^2-8v_1v_2+4v_2^2+16v_1v_2 \\[5pt]
& \Delta=4v_1^2+8v_1v_2+4v_2^2 \\[5pt]
& \Delta=4\left(v_1^2+2v_1v_2+v_2^2\right)
\end{align}
\]
o termo entre parênteses é um
Produto Notável do tipo
\( (a^2+2ab+b^2)=(a+b)^2 \)
\[
\begin{align}
& \Delta =4\left(v_1+v_2\right)^2 \\[10pt]
& v_{1f}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(2v_2-2v_1\right)\pm \sqrt{4\left(v_1+v_2\right)^2}}{2\times 2} \\[5pt]
& v_{1f}=\frac{\cancel 2\left(v_1-v_2\right)\pm \cancel 2\left(v_1+v_2\right)}{\cancel 2\times 2} \\[5pt]
& v_{1f}=\frac{v_1-v_2+v_1+v_2}{2}\qquad \text{ou}\qquad v_{1f}=\frac{v_1-v_2-v_1-v_2}{2} \\[5pt]
& v_{1f}=\frac{2}{2}v_{\;1}\qquad \text{ou}\qquad v_{1f}=-\frac{2}{2}v_{\;2}
\end{align}
\]
\[
\begin{gather}
v_{1f}=v_1 \tag{XVII}
\end{gather}
\]
\[
\text{ou}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{1f}=-v_2}
\end{gather}
\]
substituindo esta solução na equação (XVI)
\[
\begin{gather}
v_{2f}=v_1-v_2-(-v_2) \\[5pt]
v_{2f}=v_1-v_2+v_2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_{2f}=v_1}
\end{gather}
\]
Neste caso as bolas trocam suas velocidades, a bola 1 volta contra a orientação da trajetória com o
módulo da sua velocidade igual ao módulo da velocidade da bola 2, enquanto a bola 2 volta a favor da
trajetória com o módulo da sua velocidade igual ao módulo da velocidade da bola 1 (Figura 4).
Substituindo a solução (XVII) na equação (XVI)
\[
\begin{gather}
v_{2f}=v_1-v_2-v_1 \\[5pt]
v_{2f}=-v_2 \tag{XVIII}
\end{gather}
\]
Observação: As soluções (XVII) e (XVIII) não foram utilizadas, pois apresentam uma
impossibilidade física. A bola 1 continuaria com sua velocidade a favor da orientação da trajetória
e a bola 2 continuaria com sua velocidade contra a orientação da trajetória, não haveria choque,
seriam duas “bolas fantasmas” passando uma através da outra (Figura 5).
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