Exercício Resolvido de Movimento Bidimensional
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Um jogador de basquete lança a bola em direção à cesta de uma distância de 4,6 m formando um ângulo de 60° com a horizontal. A cesta está a uma altura de 3,05 m e a bola está a 2,25 m do solo quando deixa as mãos do jogador. Calcule a velocidade inicial da bola e o tempo gasto pela bola para ir das mãos do jogador até a cesta.


Dados do problema:
  • Distância do jogador à cesta:    D = 4,6 m;
  • Altura da bola ao solo:    h = 2,25 m;
  • Altura da cesta ao solo:    H = 3,05 m;
  • Ângulo de lançamento da bola:    θ = 60°;
  • Aceleração da gravidade:    g =9,8 m/s2.
Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no ponto de onde a bola é lançada, com o eixo Ox apontando para a direita e Oy para cima, a aceleração da gravidade está apontada para baixo. A bola é lançada da origem do sistema de referência, (x0, y0) = (0, 0). A coordenada y1 do ponto onde está à cesta é diferença entre a altura da cesta e a altura das mãos do jogador, y1 = H−h = 3,05−2,25 = 0,8.

Figura 1

Solução

A velocidade inicial v0 pode ser decomposta nas direções x e y
\[ \begin{gather} v_{0x}=v_0\cos 60°\\[10pt] v_{0y}=v_0\operatorname{sen}60° \end{gather} \]
Figura 2

Da Trigonometria,   \( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)   e   \( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[ \begin{gather} v_{0x}=\frac{1}{2}v_0 \tag{I} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_{0y}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0 \tag{II} \end{gather} \]
Na direção x não há aceleração atuando sobre a bola, ela está em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S_x=S_{0x}+v_xt} \end{gather} \]
como no movimento uniforme vx = v0x é constante, podemos substituir vx pelo valor de (I) e S0x = 0
\[ \begin{gather} S_x=0+\frac{1}{2}v_0t\\[5pt] S_x=\frac{1}{2}v_0t \tag{III} \end{gather} \]
Na direção y a bola está sob a ação da aceleração da gravidade, está em queda livre que é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S_y=S_{0y}+v_{0y}t-\frac{g}{2}t^2} \end{gather} \]
com −g constante (o sinal de negativo indica que a aceleração da gravidade está contra a orientação do referencial), substituindo v0y pelo valor dado pela equação (II) e S0y = 0
\[ \begin{gather} S_y=0+\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t-\frac{9,8}{2}t^2\\[5pt] S_y=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t-4,9t^2 \tag{IV} \end{gather} \]
Pela Figura 3, vemos que no movimento ao longo da direção x temos que para intervalos de tempos iguais temos intervalos de deslocamentos iguais (Δx1 = Δx2 = Δx3 = Δx4 = Δx5 = Δx6 = Δx7). Na direção y, temos que durante a subida para intervalos de tempos iguais temos intervalos de deslocamentos menores, a bola está sendo freada pela ação da gravidade (Δy1 > Δy2 > Δy3 > Δy4) até que a velocidade vy se iguala a zero. Então a ação da gravidade começa a puxar a bola de volta em direção à cesta com velocidade acelerada, assim para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços cada vez maiores (Δy5 < Δy6 < Δy7).
Figura 3

Substituindo a distância do jogador à cesta, Sx = D = 4,6 m, na equação (III)
\[ \begin{gather} 4,6=\frac{1}{2}v_0t \tag{V} \end{gather} \]
Substituindo a altura da cesta, altura final, Sx = H−h = 0,8 m, na equação (IV)
\[ \begin{gather} 0,8=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0\;t-4,9\;t^2 \tag{VI} \end{gather} \]
As equações (V) e (VI) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (v0 e t)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{2}v_0t=4,6\\ -4,9t^2+\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t=0,8 \end{array} \right. \end{gather} \]
isolando o valor de v0 na primeira equação do sistema
\[ \begin{gather} v_0=\frac{2\times 4,6}{t} \tag{VII} \end{gather} \]
e substituindo a equação (VII) na segunda equação do sistema
\[ \begin{gather} -4,9t^2+\frac{\sqrt{3\;}}{\cancel 2}\times\frac{\cancel 2\times4,6}{\cancel{t}}\cancel{t}=0,8\\[5pt] 4,9t^2=1,7\times 4,6-0,8\\[5pt] t^2=\frac{7}{4,9}\\[5pt] t^2=1,4\\[5pt] t=\sqrt{1,4\;} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t\approx 1,2\;\mathrm s} \end{gather} \]
substituindo este valor na equação (VII)
\[ \begin{gather} v_0=\frac{2\times 4,6}{1,2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_0\approx 7,7\;\mathrm{m/s}} \end{gather} \]
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