Um jogador de basquete lança a bola em direção à cesta de uma distância de 4,6 m formando um ângulo de 60°
com a horizontal. A cesta está a uma altura de 3,05 m e a bola está a 2,25 m do solo quando
deixa as mãos do jogador. Calcule a velocidade inicial da bola e o tempo gasto pela bola para ir das mãos
do jogador até a cesta.
Dados do problema:
- Distância do jogador à cesta: D = 4,6 m;
- Altura da bola ao solo: h = 2,25 m;
- Altura da cesta ao solo: H = 3,05 m;
- Ângulo de lançamento da bola: θ = 60°;
- Aceleração da gravidade: g =9,8 m/s2.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência no ponto de onde a bola é lançada, com o eixo Ox apontando para a
direita e Oy para cima, a aceleração da gravidade está apontada para baixo. A bola é lançada da
origem do sistema de referência,
(x0, y0) = (0, 0). A coordenada
y1 do ponto onde está à cesta é diferença entre a altura da cesta e a altura das mãos do
jogador, y1 = H−h = 3,05−2,25 = 0,8.
Solução:
A velocidade inicial
v0 pode ser decomposta nas direções
x e
y
\[
\begin{gather}
v_{0x}=v_0\cos 60° \\[10pt]
v_{0y}=v_0\operatorname{sen}60°
\end{gather}
\]
Da Trigonometria,
\( \cos 60°=\dfrac{1}{2} \)
e
\( \operatorname{sen}60°=\dfrac{\sqrt{3\;}}{2} \)
\[
\begin{gather}
v_{0x}=\frac{1}{2}v_0 \tag{I}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
v_{0y}=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0 \tag{II}
\end{gather}
\]
Na direção x não há aceleração atuando sobre a bola, ela está em
Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S_x=S_{0x}+v_xt}
\end{gather}
\]
como no movimento uniforme vx = v0x é constante, podemos
substituir vx pelo valor de (I) e S0x = 0
\[
\begin{gather}
S_x=0+\frac{1}{2}v_0t \\[5pt]
S_x=\frac{1}{2}v_0t \tag{III}
\end{gather}
\]
Na direção y a bola está sob a ação da aceleração da gravidade, está em queda livre que é dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{S_y=S_{0y}+v_{0y}t-\frac{g}{2}t^2}
\end{gather}
\]
com −g constante (o sinal de negativo indica que a aceleração da gravidade está contra a
orientação do referencial), substituindo v0y pelo valor dado pela equação (II) e
S0y = 0
\[
\begin{gather}
S_y=0+\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t-\frac{9,8}{2}t^2 \\[5pt]
S_y=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t-4,9t^2 \tag{IV}
\end{gather}
\]
Pela Figura 3, vemos que no movimento ao longo da direção x temos que para intervalos de
tempos iguais temos intervalos de deslocamentos iguais
(Δx1 = Δx2 =
Δx3 = Δx4 = Δx5 =
Δx6 = Δx7). Na direção y, temos que durante a
subida para intervalos de tempos iguais temos intervalos de deslocamentos menores, a bola está sendo
freada pela ação da gravidade
(Δy1 > Δy2 > Δy3 >
Δy4) até que a velocidade vy se iguala a zero. Então a
ação da gravidade começa a puxar a bola de volta em direção à cesta com velocidade acelerada, assim
para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços cada vez maiores
(Δy5 < Δy6 < Δy7).
Substituindo a distância do jogador à cesta, Sx = D = 4,6 m, na equação (III)
\[
\begin{gather}
4,6=\frac{1}{2}v_0t \tag{V}
\end{gather}
\]
Substituindo a altura da cesta, altura final, Sx = H−h = 0,8 m, na
equação (IV)
\[
\begin{gather}
0,8=\frac{\sqrt{3\;}}{2}v_0\;t-4,9\;t^2 \tag{VI}
\end{gather}
\]
As equações (V) e (VI) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas
(v0 e t)
\[
\begin{gather}
\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{1}{2}v_0t=4,6 \\
-4,9t^2+\dfrac{\sqrt{3\;}}{2}v_0t=0,8
\end{array}
\right.
\end{gather}
\]
isolando o valor de v0 na primeira equação do sistema
\[
\begin{gather}
v_0=\frac{2\times 4,6}{t} \tag{VII}
\end{gather}
\]
e substituindo a equação (VII) na segunda equação do sistema
\[
\begin{gather}
-4,9t^2+\frac{\sqrt{3\;}}{\cancel 2}\times\frac{\cancel 2\times4,6}{\cancel{t}}\cancel{t}=0,8 \\[5pt]
4,9t^2=1,7\times 4,6-0,8 \\[5pt]
t^2=\frac{7}{4,9} \\[5pt]
t^2=1,4 \\[5pt]
t=\sqrt{1,4\;}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{t\approx 1,2\;\mathrm s}
\end{gather}
\]
substituindo este valor na equação (VII)
\[
\begin{gather}
v_0=\frac{2\times 4,6}{1,2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{v_0\approx 7,7\;\mathrm{m/s}}
\end{gather}
\]
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