Exercício Resolvido de Movimento Bidimensional
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Uma bola rola sobre uma mesa horizontal de altura H, com velocidade constante v0, sem atrito, até cair pela beirada. Calcule:
a) O tempo necessário para a bola atingir o chão;
b) A distância horizontal, a partir da beirada da mesa, onde a bola atinge o chão;
c) A equação da trajetória do movimento;
d) A velocidade com que a bola atinge o chão.

Dados do problema:

  • Velocidade inicial da bola sobre a mesa: v0;
  • Altura da mesa: H.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência na mesa com o eixo Ox apontando para a direita e Oy para cima, a aceleração da gravidade está apontada para baixo e o ponto de onde a bola cai da mesa está em (x0, y0) = (0, 0), (Figura 1).

Figura 1

Solução:

O movimento pode ser decomposto nas direções x e y. A velocidade inicial v0, com que a bola rola sobre a mesa na direção x, será a única velocidade até o instante em que a bola cai pela beirada da mesa, na direção y a velocidade inicial será nula

\[ \begin{gather} v_{0 x} = v_0 \tag{I} \\[10pt] v_{0 y} = 0 \tag{II} \end{gather} \]

Decompondo o movimento, na direção x não há aceleração atuando sobre a bola, ela está em Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) e seu movimento é dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S_x=S_{0x}+v_xt} \end{gather} \]

como no movimento uniforme vx = v0x é constante, podemos substituir vx pelo valor de (I) e S0x = 0

\[ \begin{gather} S_x=0+v_0t \\[5pt] S_x=v_0t \tag{III} \end{gather} \]

Na direção y a bola está sob a ação da aceleração da gravidade, portanto está em queda livre dado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {S_y=S_{0y}+v_{0y}t-\frac{g}{2}t^2} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {v_y=v_{0y}-gt} \end{gather} \]

substituindo v0y pelo valor dado em (II) e S0y = 0

\[ \begin{gather} S_y=0+0\times t-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] S_y=-\frac{g}{2}t^2 \tag{IV} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} v_y=-gt \tag{V} \end{gather} \]

com −g constante (o sinal de negativo indica que a aceleração da gravidade está contra a orientação do referencial).

Na Figura 2 vemos que no movimento ao longo da direção x temos que, para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços iguais (Δx1 = Δx2 = Δx3 = Δx4). Na direção y temos que, no instante que a bola cai da mesa a velocidade vy começa a aumentar a partir do zero sob a ação da gravidade, para intervalos de tempos iguais temos intervalos de espaços cada vez maiores (Δ1 < Δ2 < Δ3 < Δ4).
Figura 2

a) O intervalo de tempo para a bola atingir o chão será obtido da equação (IV) com a condição de que no chão a altura da queda é a altura da mesa, Sy = −H

\[ \begin{gather} -H=-\frac{g}{2}t^2 \\[5pt] t^2=\frac{2H}{g} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {t=\sqrt{\frac{2H}{g}\;}} \end{gather} \]

b) O intervalo de tempo calculado acima, para a bola cair até o chão, é também o intervalo de tempo que ela levará para ir da origem até o ponto D ao longo do eixo-x, substituindo a resposta do item anterior na expressão (III)

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {D=v_0\sqrt{\frac{2H}{g}\;}} \end{gather} \]

c) Para obter a equação da trajetória (Figura 1), temos que ter y com função de x, ou y = f(x), usando as equações (III) e (IV) para os movimentos em x e y. Isolando o tempo na expressão (III)

\[ \begin{gather} t=\frac{S_x}{v_0} \end{gather} \]

substituindo este valor na equação (IV)

\[ \begin{gather} S_y=-\frac{g}{2}\left(\frac{S_x}{v_0}\right)^2 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {S_y=-{\frac{g}{2v_0^2}S_x^2}} \end{gather} \]

Fazendo a associação com uma Equação do 2.º Grau do tipo y = ax2+bx+c

\[ \begin{array}{c} S_y & = & -{\dfrac{g}{2v_0^2}} & S_x^2 & + & 0 & S_x & + & 0 \\ \downarrow & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow & \downarrow & & \downarrow \\ y & = & a & x^2 & + & b & x & + & c \end{array} \]

vemos que obtivemos uma função do tipo Sy = f(Sx) com o coeficiente a < 0, o que indica que a trajetória é uma parábola de “boca” para baixo.

d) Quando a bola atinge o chão sua velocidade tem componentes nas direções x e y (Figura 3). A velocidade na direção x é dada pela expressão (I) e a velocidade na direção y é obtida da expressão (V) onde se substitui o tempo pelo valor encontrado no item (a)

\[ \begin{gather} v_y=-g\sqrt{\frac{2H}{g}\;} \\[5pt] v_y=-\sqrt{\frac{2Hg^{\cancel 2}}{\cancel g}\;} \\[5pt] v_y=-\sqrt{2gH\;} \end{gather} \]
Figura 3

A velocidade da bola será dada pela soma vetoria

\[ \begin{gather} \vec v={\vec v}_x+{\vec v}_y \end{gather} \]

O módulo é obtido aplicando-se o Teorema de Pitágoras

\[ \begin{gather} v^2=v_x^2+v_y^2 \\[5pt] v^2=v_0^2+\left(-\sqrt{2gH}\right)^2 \\[5pt] v^2=v_0^2+2gH \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v=\sqrt{v_0^2+2gH\;}} \end{gather} \]
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