Exercício Resolvido de Resistores
publicidade   



Encontre a resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito representado na figura.

Solução

Vamos redesenhar o circuito da seguinte maneira para facilitar a visualização (Figura 1)

Figura 1

Este tipo de circuito é resolvido usando a técnica chamada de transformação Triângulo-Estrela (também chamada Delta-Estrela ou ΔY), fazendo a seguinte modificação no circuito (Figura 2)

Figura 2

O resistor Ra será dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R_{a}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} R_{a}=\frac{2RR}{2R+R+2R}\\[5pt] R_{a}=\frac{2R^{2}}{5R}\\[5pt] R_{a}=\frac{2}{5}R \tag{I} \end{gather} \]
O resistor Rb será dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R_{b}=\frac{R_{1}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} R_{b}=\frac{2R2R}{2R+R+2R}\\[5pt] R_{b}=\frac{4R^{2}}{5R}\\[5pt] R_{b}=\frac{4}{5}R \tag{II} \end{gather} \]
O resistor Rc será dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R_{c}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}+R_{2}+R_{3}}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} R_{c}=\frac{R2R}{2R+R+2R}\\[5pt] R_{c}=\frac{2R^{2}}{5R}\\[5pt] R_{c}=\frac{2}{5}R \tag{III} \end{gather} \]
Usando os valores de (I), (II) e (III) o circuito a ser resolvido torna-se o seguinte (Figura 3)

Figura 3

Os dois resistores entre os pontos D e E estão em série, o resistor equivalente é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R_{eq}=\sum _{i=1}^{n}R_{i}} \end{gather} \]
o resistor equivalente R4 entre eles será
\[ \begin{gather} R_{4}=\frac{4}{5}R+R \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[ \begin{gather} R_{4}=\frac{4}{5}R+\frac{5}{5}R\\[5pt] R_{4}=\frac{9}{5}R \end{gather} \]
Os dois resistores entre os pontos D e F estão em série, o resistor equivalente R5 entre eles será
\[ \begin{gather} R_{5}=\frac{2}{5}R+2R \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do segundo termo do lado direito da igualdade por 5
\[ \begin{gather} R_{5}=\frac{2}{5}R+\frac{5}{5}.2R\\[5pt] R_{5}=\frac{2}{5}R+\frac{10}{5}R\\[5pt] R_{5}=\frac{12}{5}R \end{gather} \]
O circuito pode ser representado como (Figura 4)

Figura 4

Os dois resistores obtidos acima estão ligados em paralelo, o resistor equivalente é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {R_{par}=\frac{R_{A}R_{B}}{R_{A}+R_{B}}} \end{gather} \]
o resistor equivalente R6 entre eles será
\[ \begin{gather} R_{6}=\frac{R_{4}R_{5}}{R_{4}+R_{5}}\\[5pt] R_{6}=\frac{\dfrac{9}{5}R \dfrac{12}{5}R}{\dfrac{9}{5}R+\dfrac{12}{5}R}\\[5pt] R_{6}=\frac{\dfrac{108}{25}R^{2}}{\dfrac{21}{5}R}\\[5pt] R_{6}=\frac{\cancelto{36}{108}}{\cancelto{5}{25}}R^{\cancel{2}}\frac{\cancelto{1}{5}}{\cancelto{7}{21}}\frac{1}{\cancel{R}}\\[5pt] R_{6}=\frac{36}{5}\frac{1}{7}R\\[5pt] R_{6}=\frac{36}{35}R \end{gather} \]
O circuito se reduz a dois resistores em série (Figura 5)

Figura 5

o resistor equivalente Req do circuito será
\[ \begin{gather} R_{eq}=\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R \end{gather} \]
multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo do lado direito da igualdade por 7
\[ \begin{gather} R_{eq}=\frac{7}{7}.\frac{2}{5}R+\frac{36}{35}R\\[5pt] R_{eq}=\frac{14}{35}R+\frac{36}{35}R\\[5pt] R_{eq}=\frac{\cancelto{10}{50}}{\cancelto{7}{35}}R \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {R_{eq}=\frac{10}{7}R} \end{gather} \]
publicidade   

Licença Creative Commons
Fisicaexe - Exercícios Resolvidos de Física de Elcio Brandani Mondadori está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial-Compartilha Igual 4.0 Internacional .