Exercício Resolvido de Correntes Fictícias de Maxwell
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Duas pilhas cujas f.e.m. e resistências internas são respectivamente E1=1,5 V, E2=9 V e r1=1 Ω, r2=2,2 Ω são ligadas por fios de resistência desprezível a um resistor R=4,7 kΩ, segundo o esquema indicado na figura. Determinar as intensidades das correntes nos diferentes trechos do circuito.



Dados do problema:

Resistores:
  • r1 = 1 Ω;
  • r2 = 2,2 Ω;
Resistência externa:
  • R = 4,7 kΩ = 4700 &Ohm;;
f.e.m. das pilhas:
  • E1 = 1,5 V;
  • E2 = 9 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. Na malha ABEFA temos a corrente i1 no sentido horário, e na malha BCDEB temos a corrente i2 no sentido anti-horário (Figura 1)

Figura 1

Aplicando a Lei das Malhas à malha i1 a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha i2 (Figura 2)
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} R(i_{1}+i_{2})+r_{1}i_{1}-E_{1}=0 \end{gather} \]
Figura 2

substituindo os valores do problema fica
\[ \begin{gather} 4700(i_{1}+i_{2})+1i_{1}-1,5=0\\[5pt] 4700i_{1}+4700i_{2}+i_{1}=1,5 \\[5pt] {4701i_{1}+4700i_{2}=1,5 \tag{I}} \end{gather} \]
Aplicando a Lei das Malhas à malha i2 a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo a malha i1 (Figura 3)
\[ \begin{gather} R(i_{1}+i_{2})+r_{2}i_{2}-E_{2}=0 \end{gather} \]
Figura 3

substituindo os valores do problema fica
\[ \begin{gather} 4700(i_{1}+i_{2})+2,2i_{2}-9=0\\[5pt] 4700i_{1}+4700i_{2}+2,2i_{2}=9 \\[5pt] {4700i_{1}+4702,2i_{2}=9 \tag{II}} \end{gather} \]
Com as equações (I) e (II) temos um sistema de duas equações a duas incógnitas (i1 e i2)
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;4701i_{1}+4700i_{2}=1,5\\ \;4700i_{1}+4702,2i_{2}=9 \end{array} \right. \]
isolando o valor de i2 na primeira equação
\[ \begin{gather} i_{2}=\frac{1,5-4701i_{1}}{4700} \tag{III} \end{gather} \]
substituindo este valor na segunda equação
\[ \begin{gather} 4700i_{1}+4702,2\;\left(\frac{1,5-4701i_{1}}{4700}\;\right)=9 \end{gather} \]
multiplicando ambos os lados da igualdade pro 4700
\[ \begin{gather} 4700.4700i_{1}+4700.4702,2\;\left(\frac{1,5-4701i_{1}}{4700}\;\right)=4700.9\\[5pt] 22090000i_{1}+\cancel{{4700}}.4702,2\;\left(\frac{1,5-4701i_{1}}{\cancel{{4700}}}\;\right)=4700.9\\[5pt] 22090000i_{1}+4702,2.1,5-4702,2.4701i_{1}=42300\\[5pt] 22090000i_{1}+7053,3-2210542,2i_{1}=42300\\[5pt] -15042,2i_{1}=42300-7053,3\\[5pt] -15042,2i_{1}=35246,7\\[5pt] i_{1}=\frac{35246,7}{-15042,2}\\[5pt] i_{1}=-2,34319\;\text{A} \end{gather} \]
Substituindo este valor na expressão (III)
\[ \begin{gather} i_{2}=\frac{1,5-4701.(-2,34319)}{4700}\\[5pt] i_{2}=\frac{1,5+11015,33619}{4700}\\[5pt] i_{2}=\frac{11016,83619}{4700}\\[5pt] i_{2}=2,34401\;\text{A} \end{gather} \]
No ramo BE vai circular uma corrente i3 dada por
\[ \begin{gather} i_{3}=i_{1}+i_{2}\\[5pt] i_{3}=-2,34319+2,34401\\[5pt] i_{3}=0,00082=0,82.10^{-3}=0,82\;\text{mA} \end{gather} \]
O sentido da corrente i3 será o mesmo da corrente i2 (de maior valor absoluto).
Como o valor da corrente i1 é negativa, isto indica que seu verdadeiro sentido é contrário ao escolhido na Figura 1. Os valores das correntes são i1=2,3432 A, i2=2,3440 A, e i3=0,82 mA, e seus sentidos estão mostrados na Figura 4.

Figura 4
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