Exercício Resolvido de Leis de Kirxhhoff
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Duas pilhas cujas f.e.m. e resistências internas são respectivamente E1=1,5 V, E2=9 V e r1=1 Ω, r2=2,2 Ω são ligadas por fios de resistência desprezível a um resistor R=4,7 kΩ, segundo o esquema indicado na figura. Determinar as intensidades das correntes nos diferentes trechos do circuito.



Dados do problema:

Resistência interna:
  • r1 = 1 Ω;
  • r2 = 2,2 Ω;
Resistência externa:
  • R = 4,7 kΩ = 4700 Ω;
f.e.m. das pilhas:
  • E1 = 1,5 V;
  • E2 = 9 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada ramo do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. No ramo EFAB temos a corrente i1 no sentido horário, no ramo BE a corrente i3 indo de B para E e no ramo EDCB a corrente i2 no sentido anti-horário. Em segundo lugar para cada malha do circuito atribuímos um sentido, também aleatório, para se percorrer a malha. Malha α (ABEFA) sentido horário e malha β (BCDEB) também sentido horário. Vemos todos estes elementos na Figura 1

Figura 1
  • Aplicando a Lei dos Nós
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} i_{n}=0} \end{gather} \]
As correntes i1 e i2 chegam no nó B e a corrente i3 sai dele
\[ \begin{gather} i_{3}=i_{1}+i_{2} \tag{I} \end{gather} \]
  • Aplicando a Lei das Malhas
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\sum_{n} V_{n}=0} \end{gather} \]
Para a malha α a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha β (Figura 2)
\[ \begin{gather} R i_{3}+r_{1} i_{1}-E_{1}=0 \tag{II} \end{gather} \]
Figura 2

substituindo os valores do problema
\[ \begin{gather} 4700i_{3}+1i_{1}-1,5=0\\[5pt] 4700i_{3}+i_{1}=1,5 \tag{III} \end{gather} \]
Para a malha β a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo a malha α, (Figura 3)

Figura 3
\[ \begin{gather} E_{2}-r_{2}i_{2}-Ri_{3}=0 \tag{IV} \end{gather} \]
substituindo os valores
\[ \begin{gather} 9-2,2i_{2}-4700i_{3}=0\\[5pt] 2,2i_{2}+4700i_{3}=9 \tag{V} \end{gather} \]
As equações (I), (III) e (V) formam um sistema de três equações a três incógnitas (i1, i2 e i3)
\[ \left\{ \begin{array}{l} \;i_{3}=i_{1}+i_{2}\\ \;4700i_{3}+i_{1}=1,5\\ \;2,2i_{2}+4700i_{3}=9 \end{array} \right. \]
isolando o valor de i1 na segunda equação
\[ \begin{gather} i_{1}=1,5-4700i_{3} \tag{VI} \end{gather} \]
isolando o valor de i2 na terceira equação
\[ \begin{gather} i_{2}=\frac{9-4700i_{3}}{2,2} \tag{VII} \end{gather} \]
substituindo as expressões (VI) e (VII) na primeira equação
\[ \begin{gather} i_{3}=1,5-4700i_{3}+\frac{9-4700i_{3}}{2,2} \end{gather} \]
multiplicando ambos os lados da igualdade por 2,2
\[ \begin{gather} 2,2i_{3}=2,2.\left(\;1,5-4700i_{3}+\frac{9-4700i_{3}}{2,2}\;\right)\\[5pt] 2,2i_{3}=2,2.1,5-2,2.4700i_{3}+{\cancel{2,2}}.\frac{9-4700i_{3}}{\cancel{2,2}}\\[5pt] 2,2i_{3}=3,3-10340i_{3}+9-4700i_{3}\\[5pt] 2,2i_{3}=12,3-15040i_{3}\\[5pt] 2,2i_{3}+15040i_{3}=12,3\\[5pt] 15042,2i_{3}=12,3\\[5pt] i_{3}=\frac{12,3}{15042,2}\\[5pt] i_{3}=8,1770.10^{-4}=0,81770.10^{-3}\simeq 0,82\;\text{mA} \end{gather} \]
substituindo o valor encontrado acima nas expressões (VI) e (VII) encontramos os valores de i1 e i2 respectivamente
\[ \begin{gather} i_{1}=1,5-4700.0,00081770\\[5pt] i_{1}=1,5-3,8432\\[5pt] i_{1}=-2,3432\;\text{A} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} i_{2}=\frac{9-4700.0,00081770}{2,2}\\[5pt] i_{2}=\frac{9-3,8432}{2,2}\\[5pt] i_{2}=\frac{5,1568}{2,2}\\[5pt] i_{2}=2,3440\;\text{A} \end{gather} \]
Como o valor da corrente i1 é negativa, isto indica que seu verdadeiro sentido é contrário ao escolhido na Figura 1. Os valores das correntes são i1=2,3432 A, i2=2,3440 A, e i3=0,82 mA, e seus sentidos estão mostrados na Figura 4.

Corrente i1 percorre o ramo no sentido BAFE, corrente i3 percorre o ramo BE e corrente i2 percorre o ramo EDCB.
Figura 4
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