Exercício Resolvido de Campo Elétrico
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Determine o campo elétrico de um dipolo nos pontos situados ao longo da linha reta que une as duas cargas do dipolo. Verifique a solução para pontos muito afastados do centro do dipolo.
Esquema do problema:
Adotamos um sistema de referência no ponto central, 0, entre as duas cargas do dipolo, x é a distância do centro do dipolo até o ponto P onde queremos calcular o campo elétrico (Figura 1).
A distância da carga +q até o ponto P é \( r=x-d \) e a distância da carga −q até o ponto P é \( r=x+d \). Como a carga +q está mais perto do ponto P, ela produzirá um campo mais intenso do que a carga −q.
Solução
O módulo do campo elétrico de cada carga é calculado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{E=k_{0}\frac{q}{r^{2}}}
\end{gather}
\]
O campo elétrico resultante será dado por
\[
\begin{gather}
E=E_{+}-E_{-}\\[5pt]
E=k_{0}\frac{q}{(x-d)^{2}}-k_{0}\frac{q}{(x+d)^{2}}\\[5pt]
E=k_{0}q\left[\frac{(x+d)^{2}}{(x-d)^{2}}-\frac{(x-d)^{2}}{(x+d)^{2}}\right]
\end{gather}
\]
Os termos no numerador são da forma de Produtos Notáveis
\[
\begin{gather}
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
E=k_{0}q\left[\frac{x^{2}+2xd+d^{2}-(x^{2}-2xd+d^{2})}{(x-d)^{2}(x+d)^{2}}\right]\\[5pt]
E=k_{0}q\left[\frac{x^{2}+2xd+d^{2}-x^{2}+2xd-d^{2}}{(x-d)^{2}(x+d)^{2}}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{4k_{0}qxd}{(x-d)^{2}(x+d)^{2}}}
\end{gather}
\]
Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em d no
denominador e a solução será
\[
\begin{gather}
E=\frac{4k_{0}q\cancel{x}d}{x^{\cancel{2}}x^{2}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{E=\frac{4k_{0}qd}{x^{3}}}
\end{gather}
\]
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