Exercício Resolvido de Campo Elétrico

Determine o campo elétrico de um dipolo nos pontos situados ao longo da linha reta que une as duas cargas do dipolo. Verifique a solução para pontos muito afastados do centro do dipolo.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência no ponto central, 0, entre as duas cargas do dipolo, x é a distância do centro do dipolo até o ponto P onde queremos calcular o campo elétrico (Figura 1).

Figura 1

A distância da carga +q até o ponto P é \( r=x-d \) e a distância da carga −q até o ponto P é \( r=x+d \). Como a carga +q está mais perto do ponto P, ela produzirá um campo mais intenso do que a carga −q.

Solução:

O módulo do campo elétrico de cada carga é calculado por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {E=k_0\frac{q}{r^2}} \end{gather} \]

O campo elétrico resultante será dado por

\[ \begin{gather} E=E_+ -E_- \\[5pt] E=k_0\frac{q}{(x-d)^2}-k_0\frac{q}{(x+d)^2} \\[5pt] E=k_0q\left[\frac{(x+d)^2}{(x-d)^2}-\frac{(x-d)^2}{(x+d)^2}\right] \end{gather} \]

Os termos no numerador são da forma de Produtos Notáveis

\[ \begin{gather} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \end{gather} \]

\[ \begin{gather} E=k_0q\left[\frac{x^2+2xd+d^2-(x^2-2xd+d^2)}{(x-d)^2(x+d)^2}\right] \\[5pt] E=k_0q\left[\frac{x^2+2xd+d^2-x^2+2xd-d^2}{(x-d)^2(x+d)^2}\right] \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{4k_0qxd}{(x-d)^2(x+d)^2}} \end{gather} \]

Para pontos muito afastados do centro do dipolo temos, x≫d, podemos desprezar o termo em d no denominador e a solução será

\[ \begin{gather} E=\frac{4k_0q\cancel x d}{x^{\cancel 2}x^2} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {E=\frac{4k_0qd}{x^3}} \end{gather} \]