Exercício Resolvido de Dilatação
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Dois blocos metálicos A e B têm a 0 °C volumes iguais a 250,75 cm3 e 250 cm3, respectivamente. Os coeficientes de dilatação linear médios valem, respectivamente, 2.10−5 °C−1 e 3.10−5 °C−1. Determine:
a) A temperatura em que os blocos têm volumes iguais;
b) Qual é o volume dos blocos na temperatura calculada no item (a).


Dados do problema:
  • Volume inicial do bloco A:    V0A = 250,75 cm3;
  • Volume inicial do bloco B:    V0B = 250 cm3;
  • Coeficiente de dilatação linear do bloco A:    αA = 2.10−5 °C−1;
  • Coeficiente de dilatação linear do bloco B:    αB = 3.10−5 °C−1;
  • Temperatura inicial do sistema:    t0 = 0 °C.
Esquema do problema:

Figura 1

Solução

a) O problema nos dá os coeficientes de dilatação linear dos blocos e precisamos do coeficiente de dilatação volumétrico que será
\[ \bbox[#99CCFF,10px] {\gamma =3\alpha} \]
Para o bloco A:
\[ \begin{gather} \gamma_{A}=3\alpha_{A}\\ \gamma_{A}=3.2.10^{-5}\\ \gamma_{A}=6.10^{-5}\;°\text{C}^{-1} \end{gather} \]
Para o bloco B:
\[ \begin{gather} \gamma _{B}=3\alpha_{B}\\ \gamma_{B}=3.6.10^{-5}\\ \gamma_{B}=9.10^{-5}\;°\text{C}^{-1} \end{gather} \]
O volume final volume é dado por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {V=V_{0}(1+\gamma \Delta t)} \tag{I} \end{gather} \]
Escrevendo a expressão (I) para os dois blocos
\[ \begin{gather} V_{A}=V_{0A}[1+\gamma_{A}(t-t_{0})]\\ V_{A}=250,75.[1+6.10^{-5}(t-0)]\\ V_{A}=250,75.[1+6.10^{-5}t] \tag{II} \end{gather} \]

\[ \begin{gather} V_{B}=V_{0B}[1+\gamma_{B}(t-t_{0})]\\ V_{B}=250.[1+9.10^{-5}(t-0)]\\ V_{B}=250.[1+9.10^{-5}t] \tag{III} \end{gather} \]
Impondo a condição de que os volumes sejam iguais, devemos igualar as expressões (II) e (III)
\[ \begin{gather} V_{A}=V_{B}\\ 250,75.[1+6.10^{-5}t]=250.[1+9.10^{-5}t]\\ 250,75+250,75.6.10^{-5}t=250+250.9.10^{-5}t\\ 250,75+1504,5.10^{-5}t=250+2250.10^{-5}t\\ 2250.10^{-5}t-1504,5.10^{-5}t=250,75-250\\ 745,5.10^{-5}t=0,75\\ t=\frac{0,75}{745,5.10^{-5}}\\ t=\frac{0,75.10^{5}}{745,5}\\ t=\frac{75000}{745,5} \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {t\approx 100,6\;°\text{C}} \]

b) Substituindo o resultado do item (a) na expressão (II) temos o volume dos blocos
\[ \begin{gather} V_{A}=250,75.[1+6.10^{-5}.100,6]\\ V_{A}=250,75.[1+603,6.10^{-5}]\\ V_{A}=250,75.[1+0,006036]\\ V_{A}=250,75.[1,006036] \end{gather} \]
\[ \bbox[#FFCCCC,10px] {V_{A}=V_{B}\approx 252,3\;\text{cm}^{3}} \]

Observação: Obteríamos o mesmo resultado se tivéssemos substituído a temperatura na expressão (III)
\[ \begin{gather} V_{B}=250.[1+9.10^{-5}.100,6]\\ V_{B}=250.[1+905,4.10^{-5}]\\ V_{B}=250.[1+0,009054]\\ V_{B}=250.[1,009054]\\ V_{B}=V_{A}\approx 252,3\;\text{cm}^{3} \end{gather} \]
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