Exercício Resolvido de Dinâmica
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No sistema da figura, o corpo A desliza sobre um plano horizontal sem atrito, arrastado por B que desce verticalmente. A e B estão presos entre si por uma corda inextensível de massa desprezível paralela ao plano e que passa pela polia de massa desprezível sem atrito. As massas de A e B valem respectivamente 32 kg e 8 kg. Determinar a aceleração do conjunto e a intensidade da força de tensão na corda.

 

Dados do problema:

  • Massa do corpo A:    ma = 32 kg;
  • Massa do corpo B:    mb = 8 kg;
  • Aceleração da gravidade:    g = 9,8 m/s2.

Esquema do problema:

Adotamos um sistema de referência orientado para a direita no mesmo sentido da aceleração.
Figura 1

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos blocos.

  • Corpo A (Figura 2):
    • Direção vertical:
      • \( \vec P_a \): peso do corpo A;
      • \( \vec N_a \): força de reação normal da superfície no corpo.
    • Direção horizontal:
      • \( \vec T \): força de tensão na corda.
Figura 2
  • Corpo B (Figura 3):
    • \( \vec P_b \): peso do corpo B;
    • \( \vec T \): força de tensão na corda.
Figura 3

Solução:

Aplicando a 2.ª Lei de Newton

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • Corpo A:

Na direção vertical o peso e a normal se anulam.
Na direção horizontal

\[ \begin{gather} T=m_aa \tag{I} \end{gather} \]
  • Corpo B:

Na direção horizontal não há forças atuando.
Na direção vertical

\[ \begin{gather} P_b-T=m_ba \tag{II} \end{gather} \]

A força peso é dada por

\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {P=mg} \end{gather} \]

para o corpo B

\[ \begin{gather} P_b=m_bg \tag{III} \end{gather} \]

substituindo a equação (III) na equação (II)

\[ \begin{gather} m_bg-T=m_ba \tag{IV} \end{gather} \]

As equações (I) e (IV) formam um sistema de duas equações a dua incógnitas (T e a), somando as duas equações

\[ \begin{gather} \frac{ \left\{ \begin{array}{rr} \cancel{T}&=m_aa \\ m_bg-\cancel{T}&=m_ba \end{array} \right.} {m_bg=\left(m_a+m_b\right)a} \\[5pt] a=\frac{m_bg}{m_a+m_b} \\[5pt] a=\frac{8\times 9,8}{32+8} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a\approx 1,9\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Substituindo a massa do corpo A e a aceleração, encontrada acima, na primeira equação do sistema a tensão na corda será

\[ \begin{gather} T=32\times 1,9 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {T\approx 62,7\;\text N} \end{gather} \]
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