Exercício Resolvido de Dinâmica
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Uma locomotiva de 130 toneladas arrasta um vagão de 120 toneladas. A força máxima que o engate do acoplamento locomotiva-vagão suporta é de 2.900 kN. Determine a máxima força motora que a locomotiva pode exercer para não romper o engate. Despreze forças de resistência.


Dados do problema:
  • Massa da locomotiva:    mL = 130 t = 130.000 kg;
  • Massa do vagão:    mV = 120 t = 120.000 kg;
  • Força máxima suportada pelo engate:    T = 2.900 kN = 2.900.000 N.
Esquema do problema:

O sistema pode ser representado por dois blocos, representando a locomotiva e o vagão, ligados por uma corda que representa o engate entre os dois (Figura 1).

Figura 1

Adotando um sistema de referência orientado para a direita no mesmo sentido da força \( {\vec F}_{\small M} \) aplicada, esta produz uma aceleração \( \vec a \) no conjunto.
Figura 2

Fazendo um Diagrama de Corpo Livre temos as forças que atuam nos corpos.

  • Vagão (Figura 3):
    • Direção horizontal:
      • \( \vec T \): força de tração no engate.
    • Direção vertical:
      • \( {\vec N}_{\small V} \): força de reação normal da superfície no vagão;
      • \( {\vec P}_{\small V} \): peso do vagão.
Figura 3

  • Locomotiva (Figura 4):
    • Direção horizontal:
      • \( {\vec F}_{\small M} \): força motora exercida pela locomotiva;
      • \( -\vec T \): força de tração no engate.
    • Direção vertical:
      • \( {\vec N}_{\small L} \): força de reação normal da superfície na locomotiva;
      • \( {\vec P}_{\small L} \): peso da locomotiva.
Figura 4

Solução

Aplicando a 2.ª Lei de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]
  • Para o vagão:
Na direção vertical não há movimento, a força normal e a força peso se anulam.
Na direção horizontal
\[ \begin{gather} T=m_{\small V}a \tag{II} \end{gather} \]
  • Para a locomotiva:
Na direção vertical não há movimento, a força normal e a força peso se anulam.
Na direção horizontal
\[ \begin{gather} F_{\small M}-T=m_{\small L}a \tag{III} \end{gather} \]
As equações (II) e (III) formam um sistema de duas equações a duas incógnitas (FM e a)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{r} T=m_{\small V}a\\ F_{\small M}-T=m_{\small L}a \end{array} \right. \end{gather} \]
da primeira equação do sistema isolamos a aceleração a
\[ \begin{gather} a=\frac{T}{m_{\small V}} \end{gather} \]
substituindo a aceleração na segunda equação do sistema
\[ \begin{gather} F_{\small M}-T=m_{\small L}\frac{T}{m_{\small V}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{\small M}=T+m_{\small L}\frac{T}{m_{\small V}}\\[5pt] F_{\small M}=2900000+130000\times \frac{2900000}{120000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{\small M}=6.041.666\;\mathrm N} \end{gather} \]

Observação: veja que a aceleração encontrada é impensável para um trem
\[ \begin{gather} a=\frac{T}{m_{\small V}}\\[5pt] a=\frac{2.900.000}{120.000}\\[5pt] a=24,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
ele aceleraria de 0 a 100 km/h em aproximadamente 1 segundo. O engate de um trem é bastante resistente, deve que ser submetido a uma força muito grande para ser rompido.
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