Exercice Résolu sur les Dynamique
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Une locomotive de 130 tonnes tire un wagon de 120 tonnes. La force maximale que l'attelage locomotive-wagon peut supporter est de 2.900 kN. Déterminer la force maximale que la locomotive peut exercer sans rompre l'attelage. Ignorer les forces de résistance.


Données du problème:
  • Masse de la locomotive:    mL = 130 t = 130.000 kg;
  • Masse du wagon:    mV = 120 t = 120.000 kg;
  • Force maximale supportée par l'attelage:    T = 2.900 kN = 2.900.000 N.
Schéma du problème:

Le système peut être représenté par deux blocs, représentant la locomotive et le wagon, reliés par une corde représentant l'attelage entre les deux (Figure 1).

Figure 1

Nous choisissons un référentiel orienté vers la droite dans le même sens de la force \( {\vec F}_{\small M} \) appliquée, cela produit une accélération \( \vec a \) sur l'ensemble.
Figure 2

En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les corps.

  • Wagon (Figure 3):
    • Direction horizontale:
      • \( \vec T \): force de tension sur l'attelage.
    • Direction verticale:
      • \( {\vec N}_{\small V} \): force de réaction normale de la surface sur le wagon;
      • \( {\vec P}_{\small W} \): poids du wagon.
Figure 3

  • Locomotive (Figure 4):
    • Direction horizontale:
      • \( {\vec F}_{\small M} \): force exercée par la locomotive;
      • \( -\vec T \): force de traction sur l'attelage.
    • Direction verticale:
      • \( {\vec N}_{\small L} \): force de réaction normale de la surface sur la locomotive;
      • \( {\vec P}_{\small L} \): poids de la locomotive.
Figure 4

Solution

En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \tag{I} \end{gather} \]
  • Pour le wagon:
Dans la direction verticale, il n'y a pas de mouvement, la réaction normale et le poids s'annulent.
Dans la direction horizontale
\[ \begin{gather} T=m_{\small W}a \tag{II} \end{gather} \]
  • Pour la locomotive:
Dans la direction verticale, il n'y a pas de mouvement, la réaction normale et le poids s'annulent.
Dans la direction horizontale
\[ \begin{gather} F_{\small M}-T=m_{\small L}a \tag{III} \end{gather} \]
Les équations (II) et (III) forment un système de deux équations à deux inconnues (FM et a)
\[ \begin{gather} \left\{ \begin{array}{r} T=m_{\small W}a\\ F_{\small M}-T=m_{\small L}a \end{array} \right. \end{gather} \]
de la première équation du système, nous isolons l'accélération a
\[ \begin{gather} a=\frac{T}{m_{\small W}} \end{gather} \]
en remplaçant l'accélération dans la deuxième équation du système
\[ \begin{gather} F_{\small M}-T=m_{\small L}\frac{T}{m_{\small W}} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} F_{\small M}=T+m_{\small L}\frac{T}{m_{\small W}}\\[5pt] F_{\small M}=2900000+130000\times \frac{2900000}{120000} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{\small M}=6.041.666\;\mathrm N} \end{gather} \]

Remarque: remarquer que l'accélération trouvée est impensable pour un train
\[ \begin{gather} a=\frac{T}{m_{\small W}}\\[5pt] a=\frac{2.900.000}{120.000}\\[5pt] a=24,2\;\mathrm{m/s^2} \end{gather} \]
il accélérerait de 0 à 100 km/h en environ 1 seconde. L'attelage d'un train est très résistant, il doit être soumis à une force très importante pour être rompu.
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