Ejercicio Resuelto sobre Ecuaciones de Cauchy-Riemann
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c) \( \displaystyle w=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2} \)
Condición 1: La función w, dada en el problema, no es continua en el punto z = 0, donde (x, y) = (0, 0).
Las Ecuaciones de Cauchy-Riemann están dadas por
\[
\bbox[#99CCFF,10px]
{\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}
\end{gather}}
\]
Identificando las funciones u(x, y), parte real, y v(x, y), parte
imaginaria
\[
\begin{array}{l}
u(x,y)=\dfrac{x}{x^2+y^2}\\[5pt]
v(x,y)=-{\dfrac{y}{x^2+y^2}}
\end{array}
\]
Calculando las derivadas parciales
\[
\begin{align}
& \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{1.\left(x^2+y^2\right)-{x.}(2x)}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\dfrac{x^2+y^2-2x^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\dfrac{-x^2+y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \tag{I} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial y}=-{\dfrac{1.\left(x^2+y^2\right)-{y.}(2y)}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=-{\dfrac{x^2+y^2-2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}}=\dfrac{-x^2+y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2} \tag{II} \\[5pt]
& \dfrac{\partial u}{\partial y}=-{\dfrac{{x}(2y)}{x^2+y^2}}=-{\dfrac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2}} \tag{III} \\[5pt]
& \dfrac{\partial v}{\partial x}=-\left(-{\dfrac{{y}(2x)}{x^2+y^2}}\right)=\dfrac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2} \tag{IV}
\end{align}
\]
Condición 2: Las derivadas (I), (II), (III) y (IV) no son continuas en el punto z = 0, donde
(x, y) = (0, 0).
Aplicando las Ecuaciones de Cauchy-Riemann
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\[5pt]
\frac{-x^2+y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{-x^2+y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\frac{\partial u}{\partial y}=-{\frac{\partial v}{\partial x}}\\[5pt]
-{\frac{2xy}{x^2+y^2}}=-\left[\frac{2xy}{x^2+y^2}\right]\\[5pt]
-{\frac{2xy}{x^2+y^2}}=-{\frac{2xy}{x^2+y^2}}
\end{gather}
\]
Condición 3: La función w satisface las Ecuaciones de Cauchy-Riemann excepto en
z = 0.
La función w no es continua, las derivadas no son continuas y la función satisface las Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La función w es analítica en todo el plano complejo excepto en z = 0 .
La derivada está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}}
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
f'(z)=\frac{-x^2+y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+i\frac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{-x^2+y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}-i\left[-{\frac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2}}\right]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{w'=\frac{-x^2+y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+i\frac{2xy}{\left(x^2+y^2\right)^2}}
\end{gather}
\]
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