Ejercicio Resuelto sobre Cinemática
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La velocidad de un cuerpo está dada por
\[
\begin{gather}
v=t^3-4t^2+2t+5
\end{gather}
\]
a) ¿Cuál es la posición del cuerpo en t = 3 s, si inicialmente se encuentra en x = 6 m?b) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo en t = 3 s?
Solución:
a) Condición inicial
\[
\begin{gather}
x(0)=6\;\mathrm m
\end{gather}
\]
La velocidad está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{v=\frac{dx}{dt}}
\end{gather}
\]
integrando en dt en ambos lados de la igualdad
\[
\begin{gather}
\int v\;dt=\int \frac{dx}{dt}dt
\end{gather}
\]
sustituyendo v por la función dada en el problema
\[
\begin{gather}
\int dx=\int v\;dt\\[5pt]
\int dx=\int\left(t^3-4t^2+2t+5\right)\;dt\\[5pt]
x+C_1=\frac{t^{3+1}}{3+1}-4\frac{t^{2+1}}{2+1}+2\frac{t^{1+1}}{1+1}+5\frac{t^{0+1}}{0+1}+C_2\\[5pt]
x=\frac{t^4}{4}-4\frac{t^3}{3}+2\frac{t^2}{2}+5t+C_2-C_1
\end{gather}
\]
donde C1 y C2 son constantes de integración, escribiendo
C2−C1 como una nueva constante C
\[
\begin{gather}
x=\frac{1}{4}t^4-\frac{4}{3}t^3+t^2+5t+C
\end{gather}
\]
Usando la condición inicial, para t = 0, tenemos x = 6 m
\[
\begin{gather}
6=\frac{1}{4}\times 0^4-\frac{4}{3}\times 0^3+0^2+5\times 0+C\\[5pt]
C=6\;\mathrm m
\end{gather}
\]
la ecuación para la posición en función del tiempo está dada por
\[
\begin{gather}
x(t)=\frac{1}{4}t^4-\frac{4}{3}t^3+t^2+5t+6
\end{gather}
\]
en t = 3 s la posición será
\[
\begin{gather}
x(3)=\frac{1}{4}\times 3^4-\frac{4}{3}\times3^3+3^2+5\times 3+6\\[5pt]
x(3)=\frac{1}{4}\times 81-\frac{4}{3}\times27+9+15+6
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{x=14,25\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
b) La aceleración está dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{a=\frac{dv}{dt}}
\end{gather}
\]
sustituyendo v por la función dada en el problema
\[
\begin{gather}
a=\frac{d\left(t^3-4t^2+2t+5\right)}{dt}\\[5pt]
a=3t^{3-1}-2\times 4t^{2-1}+1\times 2t^{1-1}-0\\[5pt]
a=3t^2-8t^1+2t^0
\end{gather}
\]
la ecuación para la aceleración en función del tiempo está dada por
\[
\begin{gather}
a(t)=3t^2-8t+2
\end{gather}
\]
en t = 3 s la aceleración será
\[
\begin{gather}
a(3)=3\times 3^2-8\times 3+2
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{a=5\;\mathrm{m/s}^2}
\end{gather}
\]
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