Ejercicio Resuelto sobre Dinâmica
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Un tren de alta velocidad atraviesa una curva de 2500 m de radio a una velocidad de 270 km/h. Calcula:
a) La fuerza centrífuga experimentada por un pasajero, con una masa de 70 kg, en un vagón de este tren;
b) ¿Cuál debería ser la velocidad de un automóvil, atravesando una curva con un radio de 10 m, para que el pasajero del tren sienta la misma fuerza centrífuga estando en el automóvil? Proporcione la respuesta en km/h.


Datos del problema:
  • Radio de la curva del tren:    rT = 2500 m;
  • Velocidad del tren:    vT = 270 km/h;
  • Masa del pasajero:    m = 70 kg;
  • Radio de la curva del coche:    rC = 10 m.
Esquema del problema:

Cuando el tren realiza la curva, actúa sobre el tren y los cuerpos en su interior (pasajeros y cargas) la aceleración centrípeta, responsable de hacer que los cuerpos recorran la curva. En el sistema de referencia fijo en el tren, los cuerpos sienten la fuerza centrífuga que equilibra la fuerza centrípeta (Figura 1).

Figura 1

Observación: la fuerza centrípeta solo cambia la dirección del movimiento y no su velocidad tangencial. El tren continúa a la misma velocidad de 270 km/h.

Solución

En primer lugar, debemos convertir la velocidad del tren dada en kilómetros por hora (km/h) a metros por segundo (m/s), que se utilizan en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[ \begin{gather} v_{\small T}=270\;\frac{\mathrm{\cancel{km}}}{\mathrm{\cancel{h}}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{h}}}{3600\;\mathrm s}=\frac{270}{3,6}\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=75\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
a) Aplicando la Segunda Ley de Newton para el movimiento circular
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m {\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
la aceleración centrípeta es dada por
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{II} \end{gather} \]
sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (I)
\[ \begin{gather} F_{cp}=m \frac{v^2}{r} \tag{III} \end{gather} \]
Aplicando la ecuación (III) al pasajero del tren
\[ \begin{gather} F_{cp}=m\frac{v_{\small T}^{2}}{r_{\small T}}\\[5pt] F_{cp}=70\times\frac{75^2}{2500}\\[5pt] F_{cp}=157,5\ \mathrm N \end{gather} \]
ya que la fuerza centrípeta y la fuerza centrífuga deben ser iguales en módulo
\[ \begin{gather} F_{cp}=F_{cg} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{cg}=157,5\;\mathrm N} \end{gather} \]

b) Si el pasajero del tren está en un carro, la fuerza centrípeta (y la fuerza centrífuga) que actuará sobre él será, aplicando la ecuación (III)
\[ \begin{gather} F_{cp}=F_{cg}=m\frac{v_{\small C}^2}{r_{\small C}}\\[5pt] v_{\small C}=\sqrt{{\frac{ F_{cg}r_{\small C} }{m}}\;}\\[5pt] v_{\small C}=\sqrt{\frac{157,5\times 10}{70}}\\[5pt] v_{\small C}=4,7\; \mathrm{m/s} \end{gather} \]
Figura 2

Convirtiendo la respuesta a km/h
\[ \begin{gather} v_{\small C}=4,7\;\mathrm{\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}\times\frac{1\;\mathrm{km}}{1000\;\mathrm{\cancel{m}}}\times\frac{3600\;\mathrm{\cancel{s}}}{1\;\mathrm h}=16,9\; \mathrm{km/h} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{\small C}\;\approx \;17\; \mathrm{km/h}} \end{gather} \]
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