Exercice Résolu sur les Dynamique
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Un train à grande vitesse parcourt une courbe de 2500 mètres de rayon à une vitesse de 270 km/h. Calculer:
a) La force centrifuge ressentie par un passager, d'une masse de 70 kg, dans un wagon de ce train;
b) Quelle devrait être la vitesse d'une voiture parcourant une courbe de 10 mètres de rayon, pour que ce passager du train ressente la même force centrifuge en étant dans la voiture? Donner la réponse en km/h.


Données du problème
  • Données du problème:    rT = 2500 m;
  • Vitesse du train:    vT = 270 km/h;
  • Masse du passager:    m = 70 kg;
  • Rayon de la courbe de la voiture:    rC = 10 m.
Schéma du problème:

Quand le train prend la courbe, une accélération centrifuge agit sur le train ainsi que sur les corps à l'intérieur (passagers et marchandises), responsable de les faire parcourir la courbe. Dans le référentiel fixe au train, les corps ressentent la force centrifuge qui équilibre la force centripète (Figure 1).

Figure 1

Remarque: la force centripète modifie uniquement la direction du mouvement et non sa vitesse linéaire. Le train continue à la même vitesse de 270 km/h

Solution

Premièrement, nous devons convertir la vitesse du train, exprimée en kilomètres par heure (km/h), en mètres par seconde (m/s), unités utilisées dans le Système International d'Unités (SI)
\[ \begin{gather} v_{\small T}=270\;\frac{\mathrm{\cancel{km}}}{\mathrm{\cancel{h}}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\mathrm{\cancel{km}}}\times\frac{1\;\mathrm{\cancel{h}}}{3600\;\mathrm s}=\frac{270}{3,6}\;\frac{\mathrm m}{\mathrm s}=75\;\mathrm{m/s} \end{gather} \]
a) En appliquant la Deuxième Loi de Newton au mouvement courbe
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {{\vec F}_{cp}=m {\vec a}_{cp}} \tag{I} \end{gather} \]
l'accélération centripète est donnée par
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {a_{cp}=\frac{v^2}{r}} \tag{II} \end{gather} \]
en remplaçant l'équation (II) dans l'équation (I)
\[ \begin{gather} F_{cp}=m \frac{v^2}{r} \tag{III} \end{gather} \]
En appliquant l'équation (III) au passager du train
\[ \begin{gather} F_{cp}=m\frac{v_{\small T}^{2}}{r_{\small T}}\\[5pt] F_{cp}=70\times\frac{75^2}{2500}\\[5pt] F_{cp}=157,5\ \mathrm N \end{gather} \]
puisque la force centripète et la force centrifuge doivent être égales en module
\[ \begin{gather} F_{cp}=F_{cg} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {F_{cg}=157,5\;\mathrm N} \end{gather} \]

b) Si le passager du train est dans une voiture, la force centripète (et la force centrifuge) qui agira sur lui sera, en appliquant l'équation (III)
\[ \begin{gather} F_{cp}=F_{cg}=m\frac{v_{\small C}^2}{r_{\small C}}\\[5pt] v_{\small C}=\sqrt{{\frac{ F_{cg}r_{\small C} }{m}}\;}\\[5pt] v_{\small C}=\sqrt{\frac{157,5\times 10}{70}}\\[5pt] v_{\small C}=4,7\; \mathrm{m/s} \end{gather} \]
Figure 2

En convertissant la réponse en km/h
\[ \begin{gather} v_{\small C}=4,7\;\mathrm{\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}}\times\frac{1\;\mathrm{km}}{1000\;\mathrm{\cancel{m}}}\times\frac{3600\;\mathrm{\cancel{s}}}{1\;\mathrm h}=16,9\; \mathrm{km/h} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {v_{\small C}\;\approx \;17\; \mathrm{km/h}} \end{gather} \]
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