Ejercicio Resuelto sobre Condensadores
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a) ¿Cuál debe ser el radio de una esfera conductora ubicada en el vacío para que su capacidad sea 1 F?
b) Suponiendo que el planeta Tierra es una esfera perfecta con un radio de 6400 km, ¿Cuál es su capacidad eléctrica?
La Constante de Coulomb en el vacío es \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).
Datos del problema:
- Capacidad del conductor: C=1 F;
- Radio de la Tierra: RT=6400 km;
- Constante de Coulomb en el vacío: \( k_e=9\times 10^9\;\mathrm{\frac{N.m^2}{C^2}} \).
a) La capacidad eléctrica, en función de la carga Q y el potencial V, es dada por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{C=\frac{Q}{V}} \tag{I}
\end{gather}
\]
El potencial eléctrico de un conductor esférico de radio, R cargado con carga Q, es dado por
\[
\begin{gather}
\bbox[#99CCFF,10px]
{V=k_e\frac{Q}{R}} \tag{II}
\end{gather}
\]
sustituyendo la ecuación (II) en la ecuación (I)
\[
\begin{gather}
C=\frac{Q}{k_e\dfrac{Q}{R}}\\[5pt]
C=\frac{\cancel Q}{k_e}\frac{R}{\cancel Q}\\[5pt]
C=\frac{R}{k_e} \tag{III}\\[5pt]
R=Ck_e
\end{gather}
\]
sustituyendo los datos del problema
\[
\begin{gather}
R=1\times 9\times 10^9
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{R=9\times 10^{9}\;\mathrm m}
\end{gather}
\]
Observación: este resultado muestra que 1 farad es una unidad muy grande, para tener una
esfera con esta capacidad debería tener 9×106 km = 9000000 km de radio.
b) En primer lugar, convirtamos el radio de la Tierra expresado en kilómetros (km) a metros (m) utilizados en el Sistema Internacional de Unidades (SI)
\[
\begin{gather}
R_{\small T}=6400\;\cancel{\mathrm{km}}\times\frac{1000\;\mathrm m}{1\;\cancel{\mathrm{km}}}=6400000\;\mathrm m=6,4\times 10^{6}\;\mathrm m
\end{gather}
\]
Usando la ecuación (III) del punto anterior
\[
\begin{gather}
C=\frac{R}{k_e}\\[5pt]
C=\frac{6,4\times 10^6}{9\times 10^9}\\[5pt]
C\approx 0,7\times 10^6\times 10^{-9}\\[5pt]
\end{gather}
\]
\[
\begin{gather}
\bbox[#FFCCCC,10px]
{C\approx 0,7\times 10^{-3}\;\mathrm F=0,7\;\mathrm{mF}}
\end{gather}
\]
Observación: como 1 farad es una unidad muy grande, este resultado nos muestra por qué es
común utilizar submúltiplos como mili (m) = 10−3, micro (μ) = 10−6
o pico (p) = 10−9.
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