Exercice Résolu sur les Dynamique
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Deux corps de masses mA = 6 kg et mB = 4 kg se trouvent sur une surface horizontale parfaitement lisse. Une force horizontale de intensité égal à 25 N est appliquée pour pousser les deux corps. Calculer l'accélération acquise par l'ensemble et le intensité de la force de contact entre les corps.


Données du problème:
  • Masse du corps A:    mA = 6 kg;
  • Masse du corps B:    mB = 4 kg;
  • Force appliquée à l'ensemble:    F = 25 N.
Schéma du problème:

Nous choisissons un référentiel orienté vers la droite dans le même sens que la force \( \vec F \) appliquée, produisant une accélération a dans le système.
Figure 1

En faisant un Diagramme de Corps Libre, nous avons les forces agissant sur les blocs.

  • Corps A:
    • Direction horizontale:
      • \( \vec F \) : force appliquée au corps;
      • \( -\vec f \) : réaction du corps B sur A.
    • Direction verticale:
      • \( {\vec N}_{\small A} \) : force de réaction normale de la surface sur le corps;
      • \( {\vec P}_{\small A} \) : poids du corps A.
Figure 2

  • Corps B:
    • Direction horizontale:
      • \( \vec f \): force d'action du corps A sur B.
    • Direction verticale:
      • \( {\vec N}_{\small B} \): force de réaction normale de la surface sur le corp;
      • \( {\vec P}_{\small B} \): poids du corps B.
Figure 3

Solution

En appliquant la Deuxième Loi de Newton
\[ \begin{gather} \bbox[#99CCFF,10px] {\vec F=m\vec a} \end{gather} \]
  • CorpsA:
Dans la direction verticale, il n'y a pas de mouvement, la force normale et le poids s'annulent.
Dans la direction horizontale
\[ \begin{gather} F-f=m_{\small A}a \tag{I} \end{gather} \]
  • CorpsB:
Dans la direction verticale, il n'y a pas de mouvement, la force normale et le poids s'annulent.
Dans la direction horizontale
\[ \begin{gather} {f=m_{\small B}a} \tag{II} \end{gather} \]
Les équations (I) et (II) forment un système de deux équations à deux inconnues (f et a)
\[ \left\{ \begin{array}{rr} F-f&=m_{\small A}a\\ f&=m_{\small B}a \end{array} \right. \]
en substituant l'équation (II) dans l'équation (I), on obtient l'accélération
\[ \begin{gather} F-m_{\small B}a=m_{\small A}a\\[5pt] F=a(m_{\small A}+m_{B})\\[5pt] a=\frac{F}{m_{\small A}+m_{B}}\\[5pt] a=\frac{25}{6+4}\\[5pt] a=\frac{25}{10} \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {a=2,5\;\mathrm{m/s^2}} \end{gather} \]

Remarque: comme les deux corps forment un ensemble soumis à une même force, ils ont tous deux la même accélération. Le système se comporte comme s'il s'agissait d'un seul corps avec une masse totale donnée par la somme des masses des deux corps A et B.

En substituant l'accélération trouvée ci-dessus dans l'équation (II), on obtient la force de contact entre les corps.
\[ \begin{gather} f=4\times 2,5 \end{gather} \]
\[ \begin{gather} \bbox[#FFCCCC,10px] {f=10\;\mathrm N} \end{gather} \]

Remarque: de manière analogue, on pourrait substituer l'accélération dans l'équation (I) pour obtenir la force de contact, dans ce cas, on aurait:
\[ 25-f=6\times 2,5\Rightarrow 25-f=15\Rightarrow f=10\;\mathrm N \]
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