Exercício Resolvido de Correntes Fictícias de Maxwell

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Duas pilhas cujas f.e.m. e resistências internas são respectivamente E1=1,5 V, E2=9 V e r1=1 Ω, r2=2,2 Ω são ligadas por fios de resistência desprezível a um resistor R=4,7 kΩ, segundo o esquema indicado na figura. Determinar as intensidades das correntes nos diferentes trechos do circuito.

Pilha E1=1,5 V e reistência interna r1=1 ohm ligada, em paralelo, com resistor R=4799 ohms, ligado em paralelo com bateria E2=9 Ve resistência intera r2=2,2 ohms.


Dados do problema
Resistores:
  • r1 = 1 Ω;
  • r2 = 2,2 Ω;
Resistência externa:
  • R = 4,7 kΩ = 4700 &Ohm;;
f.e.m. das pilhas:
  • E1 = 1,5 V;
  • E2 = 9 V;
Solução

Em primeiro lugar a cada malha do circuito atribuímos, aleatoriamente, um sentido de corrente. Na malha ABEFA temos a corrente i1 no sentido horário, e na malha BCDEB temos a corrente i2 no sentido anti-horário (figura 1)

Corrente i1 na percorrendo a malha ABEFA no sentido horário e corrente i2 percorrendo a malha BCDEB no sentido anti-horário.
figu ra 1

Aplicando a Lei das Malhas à malha i1 a partir do ponto A no sentindo escolhido, esquecendo a malha i2 (figura 2), escrevemos
\[ R(\;i_{1}+i_{2}\;)+r_{1}i_{1}-E_{1}=0 \]
Corrente i1 percorrendo a malha ABEFA no sentido horário e corrente i2 percorrendo o ramo BE no sentido de B para E.
figura 2
substituindo os valores do problema fica
\[ \begin{align} 4700(\;i_{1}+i_{2}\;)+1i_{1}-1,5=0\\ 4700i_{1}+4700i_{2}+i_{1}=1,5 \quad \\ {4701i_{1}+4700i_{2}=1,5 \quad \quad \tag{I}} \end{align} \]
Aplicando a Lei das Malhas à malha i2 a partir do ponto B no sentindo escolhido, esquecendo a malha i1 (figura 3), escrevemos
\[ R(\;i_{1}+i_{2}\;)+r_{2}i_{2}-E_{2}=0 \]
Corrente i2 na percorrendo a malha BCDEB no sentido anti-horário e corrente i1 percorrendo o ramo BE no sentido de B para E.
figura 3
substituindo os valores do problema fica
\[ \begin{align} 4700(\;i_{1}+i_{2}\;)+2,2i_{2}-9=0\\ 4700i_{1}+4700i_{2}+2,2i_{2}=9 \; \, \\ {4700i_{1}+4702,2i_{2}=9 \quad \; \; \, \tag{II}} \end{align} \]
Com as equações (I) e (II) temos um sistema de duas equações a duas incógnitas (i1 e i2)
\[ \left|\begin{matrix} \;4701i_{1}+4700i_{2}=1,5\\ \;4700i_{1}+4702,2i_{2}=9 \end{matrix}\right. \]
isolando o valor de i2 na primeira equação, temos
\[ i_{2}=\frac{1,5-4701i_{1}}{4700} \tag{III} \]
substituindo este valor na segunda equação, obtemos
\[ 4700i_{1}+4702,2\;\left(\;\frac{1,5-4701i_{1}}{4700}\;\right)=9 \]
multiplicando ambos os lados da igualdade pro 4700, temos
\[ 4700.4700i_{1}+4700.4702,2\;\left(\;\frac{1,5-4701i_{1}}{4700}\;\right)=4700.9\\ 22090000i_{1}+\cancel{{4700}}.4702,2\;\left(\;\frac{1,5-4701i_{1}}{\cancel{{4700}}}\;\right)=4700.9\\ 22090000i_{1}+4702,2.1,5-4702,2.4701i_{1}=42300\\ 22090000i_{1}+7053,3-2210542,2i_{1}=42300\\ -15042,2i_{1}=42300-7053,3\\ -15042,2i_{1}=35246,7\\ i_{1}=\frac{35246,7}{-15042,2}\\ i_{1}=-2,34319\;\text{A} \]
Substituindo este valor na expressão (III), temos
\[ i_{2}=\frac{1,5-4701.(\;-2,34319\;)}{4700}\\ i_{2}=\frac{1,5+11015,33619}{4700}\\ i_{2}=\frac{11016,83619}{4700}\\ i_{2}=2,34401\;\text{A} \]
No ramo BE vai circular uma corrente i3 dada por
\[ i_{3}=i_{1}+i_{2}\\ i_{3}=-2,34319+2,34401\\ i_{3}=0,00082=0,82.10^{-3}=0,82\;\text{mA} \]
O sentido da corrente i3 será o mesmo da corrente i2 (de maior valor absoluto).
Como o valor da corrente i1 é negativa, isto indica que seu verdadeiro sentido é contrário ao escolhido na figura 1. Os valores das correntes são i1=2,3432 A, i2=2,3440 A, e i3=0,82 mA, e seus sentidos estão mostrados na figura 4.

Corrente i1 percorre o ramo no sentido BAFE, corrente i3 percorre o ramo BE e corrente i2 percorre o ramo EDCB.
figura 4


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